Giải thích các bước giải:

a.Vì K là trung điểm CM

$\rightarrow OK$ là đường trung bình $\Delta MCD\rightarrow OK// MD\rightarrow OA//MD$

Từ K là trung điểm CM $\rightarrow C,M $ đối xứng qua OK hay $C,M$ đối xứng qua OA

$\rightarrow\widehat{AMO}=\widehat{ACO}=90^o\rightarrow AM $ là tiếp tuyến của (O)

b.Ta có :

$\Delta AMO, AM\perp MO, MK\perp AO\rightarrow KA.KO=KM^2$

Tương tự ta chứng minh được  $HO.HB=HM^2$

$\rightarrow KA.KO+HO.HB=KM^2+HM^2=KH^2=MO^2=R^2=const$ do $\Diamond MKOH$ là hình chữ nhật

c.Vì $AM=R\rightarrow\Delta OMC$ đều

Mà $SM\perp MO\rightarrow\widehat{CSM}=90^o-\widehat{MOC}=90^o-60^o=30^o$

Lại có: $\widehat{SMC}=\dfrac{1}{2}.\widehat{MOC}=30^o\rightarrow \Delta CSM$ cân tại C

Do $CE\perp SM\rightarrow E$ là trung điểm SM$\rightarrow SM=2SE$

Lại có $\widehat{EAC}=\widehat{AMC}+\widehat{ACM}=2\widehat{AMC}=\widehat{MOC}=60^o$

$\rightarrow EA=\dfrac{1}{2}.AC=\dfrac{1}{2}.AM$

$\rightarrow AE.SM=\dfrac{1}{2}.AM.2SE=AM.SE\rightarrow đpcm$

d.Gọi $AD\cap BC=F\rightarrow F$ thuộc elip với tiêu điểm $I,I'$ thuộc CD cách O 1 khoảng là $\dfrac{R\sqrt{3}}{2}$