a)

Vì $MA,MB$ là hai tiếp tuyến của $\left( O \right)$

$\to \widehat{MAO}=\widehat{MBO}=90{}^\circ $

$\to \widehat{MAO}+\widehat{MBO}=180{}^\circ $

$\to AOBM$ nội tiếp

b)

Ta có $\widehat{ADC}=\widehat{ABC}=90{}^\circ $ (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)

$\to AD\bot MC$ tại $D$ và $AB\bot BC$

Ta có $MA=MB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có $OA=OB=R$

$\to MO$ là đường trung trực của $AB$

$\to MO\bot AB$ tại $H$

Xét tứ giác $AHDM$ có $\widehat{AHM}=\widehat{ADM}=90{}^\circ $

$\to AHDM$ nội tiếp

$\to \widehat{HAD}=\widehat{OMC}$

c)

Vì $K$ là trung điểm $CD$

$\to OK\bot CD$ tại $K$

Xét $\Delta OHI$ và $\Delta OKM$, ta có:

+   $\widehat{HOI}$ là góc chung

+   $\widehat{OHI}=\widehat{OKM}=90{}^\circ $

$\to \Delta OHI\backsim\Delta OKM\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{OH}{OK}=\dfrac{OI}{OM}$

$\to OH.OM=OK.OI$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta MAO$ vuông tại $A$, đường cao $AH$

Ta có $O{{A}^{2}}=OH.OM$

$\to {{R}^{2}}=OH.OM$

$\to O{{D}^{2}}=OH.OM$

$\to O{{D}^{2}}=OK.OI$

$\to \dfrac{OD}{OK}=\dfrac{OI}{OD}$

Xét $\Delta ODI$ và $\Delta OKD$, ta có:

+   $\widehat{DOI}$ là góc chung

+   $\dfrac{OD}{OK}=\dfrac{OI}{OD}\left( cmt \right)$

$\to \Delta ODI\backsim\Delta OKD\left( c.g.c \right)$

$\to \widehat{ODI}=\widehat{OKD}=90{}^\circ $

$\to ID$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$

d)

Gọi $E$ là giao điểm $BN$ và $MC$

Gọi $F$ là giao điểm $AB$ và $MC$

Ta có $\widehat{MAB}=\widehat{MBA}$ ($\Delta MAB$ cân tại $M$)

Mà $\widehat{MAB}=\widehat{NBA}$ ($AM//BN$, hai góc so le trong)

$\to BF$ là phân giác trong tại đỉnh $B$ của $\Delta MBE$

Mà $BF\bot BC$

$\to BC$ là phân giác ngoài tại đỉnh $B$ của $\Delta MBE$

$\to \dfrac{FE}{FM}=\dfrac{CE}{CM}$

Mà theo hệ quả của định lý Ta-let, ta có:

+   $\dfrac{FE}{FM}=\dfrac{BE}{AM}$

+   $\dfrac{CE}{CM}=\dfrac{NE}{AM}$

$\to \dfrac{BE}{AM}=\dfrac{NE}{AM}$

$\to BE=NE$

$\to E$ là trung điểm $BN$

$\to MC$ đi qua trung điểm $E$ của $BN$