Đáp án:

a) $\Delta ABC$ cân tại $A\Rightarrow AB=AC$.

Xét hai tam giác vuông $\Delta ABH$ và $\Delta ACH$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}AB=AC\,\rm(cmt)\\AH \rm\ là\ cạnh\ chung\end{array}\right\}\Delta ABH=\Delta ACH$ (ch-cgv).

b) $M$ là trung điểm của $AC\Rightarrow AM=CM$.

Qua $C$ kẻ đường thẳng song song $AB$ cắt $BM$ tại $E$

$\Rightarrow CE//AB\Rightarrow\widehat{BAC}=\widehat{ACE}$ (cặp góc so le trong).

Xét hai tam giác $\Delta ABM$ và $\Delta CME$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}\widehat{BAC}=\widehat{ACE}\,\rm(cmt)\\AM=CM\,\rm(cmt)^{\color{transparent}2}\\\widehat{AMB}=\widehat{CME}\,\rm(đ^2)\end{array}\right\}\Delta ABM=\Delta CME$ (g-c-g).

$\Rightarrow AB=CE$ (hai cạnh tương ứng).

c) $\Delta ABH=\Delta ACH\Rightarrow BH=CH$

$\Rightarrow H$ là trung điểm của $BC$

$\Rightarrow AH$ là đường trung tuyến của $\Delta ABC$.

$M$ là trung điểm của $AC$

$\Rightarrow BM$ là đường trung tuyến của $\Delta ABC$.

Mà $BM$ kéo dài đến $E\Rightarrow M\in BE$

$\Rightarrow BE$ là đường trung tuyến của $\Delta ABC$.

Vì $AH$ và $BE$ là đường trung tuyến và $AH\cap BE=G$

$\Rightarrow G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$.

`a)` Xét $\triangle$ $AHB$ và $\triangle$ $AHC$ ta có $:$

$\widehat{AHB}$ $=$ $\widehat{AHC}$ $= 90^o ($ vì $AH$ $\bot$ $BC )$
$AB = AC ($ vì $\triangle$ $ABC$ cân tại $A )$ 

$\widehat{ABC}$ $=$ $\widehat{ACB}$ $($ vì $\triangle$ $ABC$ cân tại $A )$ 

`=>` $\triangle$ $AHB$ $=$ $\triangle$ $AHC ( ch - gn )$

`b)` Vì $CE // AB ( gt )$

`=>` $\widehat{BAM}$ $=$ $\widehat{MCE}$ $( 2$ góc sole trong $)$

Xét $\triangle$ $BAM$ và $\triangle$ $ECM$ ta có $:$

$\widehat{BAM}$ $=$ $\widehat{MCE} ( cmt )$

$AM = MC ($ vì $M$ là trung điểm của $AC )$

$\widehat{M1}$ $=$ $\widehat{M2}$ $( 2$ góc đối đỉnh $)$

`=>` $\triangle$ $BAM$ $=$ $\triangle$ $ECM ( g - c - g )$

`=> AB = CE ( 2` cạnh tương ứng $)$

`c)` Ta có $:$ $\triangle$ $ABC$ cân tại $A ( gt )$

Mà $:$ $AH$ $\bot$ $BC ( gt )$

`=> AH` đồng thời là đường trung tuyến của $\triangle$ $ABC ($ tính chất $\triangle$ cân $)$

$BM$ là đường trung tuyến của $\triangle$ $ABC ( M$ là trung điểm $AC )$

Mà $AH$ $\cap$ $BM$ tại $M$

`=> G` là trọng tâm $\triangle$ $ABC ( dhnb )$