a,

Xét `\DeltaAHB` và `\DeltaAHC` , ta có :

`AB = AC` ( `\DeltaABC` cân tại `A`)

`HB = HC` ( `H` trung điểm `BC`)

`AH` cạnh chung

`=>` `\DeltaAHB` = `\DeltaAHC` `(c.c.c)`

b,

Vì `HK \\ AB`

`=>` $\widehat{KHA}$ = $\widehat{BAH}$ ( hai góc so le trong) `(1)`

Vì `\DeltaAHB` = `\DeltaAHC` ( cmt)

`=>` $\widehat{BAH}$ = $\widehat{CAH}$ ( hai góc tương ứng)

`=>` $\widehat{BAH}$ = $\widehat{KAH}$ `(2)`

Từ `(1)` và `(2)`

`=>` $\widehat{KHA}$ = $\widehat{KAH}$

Vì `HK // AB`

`=>`  $\widehat{ABC}$  = $\widehat{KHC}$ ( hai góc đồng vị) `(3)`

Vì `\DeltaABC` cân tại `A`

`=>` $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ACB}$ ( hai góc ở đáy)

`=>` $\widehat{ABC}$= $\widehat{KCH}$ `(4)`

Từ `(3)` và `(4)`

`=>` $\widehat{KHC}$ = $\widehat{KCH}$

`=>` `\DeltaKHC` cân tại `K`

c,

Vì  $\widehat{KHA}$ = $\widehat{KAH}$

`=>` `\DeltaAKH` cân tại `K`

`=> AK = KH` ( hai cạnh bên)

Vì `\DeltaKHC` cân tại `K`

`=> KH = KC` ( hai cạnh bên)

Ta có :

`AK = KH`

`KH = KC`

`=> AK = KC`

`=> K` trung điểm `AC` `(5)`

Ta có : 

`AB = AC` ( `\DeltaABC` cân tại `A`)

Mà `AB = 10 cm`

`=> AC = 10 cm` `(6)`

Từ `(5)` và `(6)`

`=> AK = KC = 1/2.AC = 1/2  .10 = 5 (cm)`

Ta có :

`AK = KH` mà `AK = 5 cm` `=> KH = 5 cm`

Vì `K` trung điểm `AC`

`=> BK` là đường trung tuyến của `\DeltaABC`

Vì `H` trung điểm `BC`

`=> AH` là đường trung tuyến của `\DeltaABC`

Mà `BK` và `AH` cắt nhau tại `G`

`=> G` là trọng tâm của `\DeltaABC`

`=> AG = 2/3.AH = 2/3  .6 = 4 (cm)` ( tính chất trọng tâm của tam giác)

Vậy `AG = 4 cm` và `KH = 5 cm`

d,

Vì `G` trọng tâm của `\DeltaABC`

`=> BG = 2/3.BK` ( tính chất trọng tâm của tam giác)

Xét `\DeltaAGB` , ta có :

`AG + GB> AB` ( bất đẳng thức tam giác)

`=> 2/3.AH + 2/3.BG > AB`

`=>` `(2.AH + 2.BK)/3` > AB`

`=>` `(2.(AH + BK))/3` > `AB`

`=> 2.(AH +BK) > 3.AB`

Mà `AB = AC`

`=> 2.( AH + BK) > 3.AC` ( đpcm)

@UCKSWT

Đáp án:

a) $\Delta ABC$ cân tại $A\Rightarrow AB=AC$.

$H$ là trung điểm của $BC\Rightarrow HB=HC$.

Xét hai tam giác $\Delta AHB$ và $\Delta AHC$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}AB=AC\,\rm(cmt)\\HB=HC\,\rm(cmt)\\AH\rm\ là\ cạnh\ chung\end{array}\right\}\Delta AHB=\Delta AHC$ (c-c-c).

b) $\Delta AHB=\Delta AHC\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{CAH}$ (hai góc tương ứng).

$H$ kẻ đường song song $AB$ cắt $AC$ tại $K\Rightarrow HK//AB$.

$\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{KHA}$ (cặp góc so le trong).

Mà $\widehat{BAH}=\widehat{CAH}$ nên $\widehat{CAH}=\widehat{KHA}$

Mà $K\in AC\Rightarrow\widehat{KAH}=\widehat{CAH}$

$\Rightarrow\widehat{KAH}=\widehat{KHA}$.

$\Delta AHB=\Delta AHC\Rightarrow\widehat{ABH}=\widehat{ACH}$

$HK//AB\Rightarrow\widehat{ABH}=\widehat{KHC}$ (cặp góc đồng vị).

$\Rightarrow\widehat{ACH}=\widehat{KHC}$ mà $\widehat{HCK}=\widehat{ACH}$

$\Rightarrow\widehat{KHC}=\widehat{HCK}\Rightarrow\Delta KHC$ cân.

c) $\Delta KHC$ cân $\Rightarrow HK=KC$ (hai cạnh bên bằng nhau)

$\widehat{KAH}=\widehat{KHA}\Rightarrow\Delta AKH$ cân

$\Rightarrow AK=KH$ (hai cạnh bên bằng nhau) mà $HK=KC$

$\Rightarrow AK=KC\Rightarrow K$ là trung điểm của $AC$.

$\Rightarrow BK$ là đường trung tuyến của $\Delta ABC$.

$H$ là trung điểm của $BC$

$\Rightarrow AH$ là đường trung tuyến của $\Delta ABC$.

$AH\cap BK=G\Rightarrow G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$
$\Rightarrow AG=\dfrac23 AH=\dfrac23\!\cdot\!6=4(cm)$

$AB=AC$ mà $AB=10cm$ nên $AC=10cm$.

$K$ là trung điểm của $AC\Rightarrow AK=\dfrac {AC}2=5(cm)$

Mà $AK=HK$ nên $HK=5(cm)$.

d) $\Delta ABG$ có $AG+BG>AB$

Mà $AB=AC$ nên $AG+BG>AC$.

$G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$

$\Rightarrow\dfrac23 AH+\dfrac23 BK>AC$

$\Rightarrow\dfrac23(AH+BK)>AC$

$\Rightarrow 2.(AH+BK)>3AC$.