Đáp án:

a) $BC=2\sqrt{119}cm$

b) A, G, H thẳng hàng

c) $\widehat{ABG}=\widehat{ACG}$

Giải thích các bước giải:

a)

Xét $\triangle HAB$ và $\triangle HAC$:

$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\,\,\,(=90^o)$

$AB=AC$ (2 cạnh bên của tam giác cân)

$AH$: chung

$\to\triangle HAB=\triangle HAC$ (ch - cgv)

$\to HB=HC$ (2 cạnh tương ứng)

$\triangle HAB$ vuông tại H:

$HA^2+HB^2=AB^2$ (định lý Pytago)

$\to HB=\sqrt{AB^2-HA^2}=\sqrt{12^2-5^2}=\sqrt{119}(cm)\\\to BC=2HB=2\sqrt{119}cm$

b)

Ta có: $HB=HC$ (cmt)

$\to$ AH là đường trung tuyến của BC

Mà G là trọng tâm của $\triangle ABC$

$\to$ AG đi qua trung điểm của BC

$\to$ A, G, H thẳng hàng

c)

$\triangle HAB=\triangle HAC$ (cmt)

$\to\widehat{HAB}=\widehat{HAC}$ (2 góc tương ứng)

Xét $\triangle ABG$ và $\triangle ACG$:

$AB=AC$ (2 cạnh bên của tam giác cân)

$\widehat{GAB}=\widehat{GAC}$ (cmt)

$AG$: chung

$\to\triangle ABG=\triangle ACG$ (c.g.c)

$\to\widehat{ABG}=\widehat{ACG}$ (2 góc tương ứng)

`A)`

$\text{Xét $\triangle$ ABH và $\triangle$ ACH vuông tại H}$

`Có:` `AB=AC` $\text{($\triangle$ ABC cân tại A)}$

         `AH:` `Chung`

`=>` $\text{$\triangle$ ABH = $\triangle$ ACH}$ `(Ch-gn)`

`=>` `BH=CH`

$\text{$\triangle$ ABH vuông tại H}$

`=>` `AB^2=AH^2+BH^2`

`=>` `12^2=5^2+BH^2`

`=>` `BH^2` `=` $\sqrt{12^2-5^2}$

`=>BH^2` `=` $\sqrt{119}$

`->` `BC=2BH=2\sqrt{119}`

`B)`

$\text{Ta có:}$ `BH=CH` $\text{(Cmt)}$

`=>` $\text{H là trung điểm của BC}$

`=>` $\text{AH là đường trung tuyến $\triangle$ ABC}$

$\text{Mà G là trọng tâm của $\triangle$ ABC}$

`=>` $\text{A, G, H thẳng hàng}$

`C)` 

$\text{Xét $\triangle$ ABG và $\triangle$ ACG}$

`Có:` `AB=AC` $\text{($\triangle$ ABC cân tại A)}$

        $\widehat{BAG}$ `=` $\widehat{CAG}$ $\text{($\triangle$ ABH = $\triangle$ ACH)}$

         `AG:` `Chung`

`=>` $\triangle$ ABG `=` $\triangle$ ACG $\text{(C . G . C)}$

`=>` $\widehat{ABG}$ `=` $\widehat{ACG}$

`color{red}{\text{Hairate2311}}`