+ Đặt: 

$A = \dfrac {a_{1}^{2}}{a_{2} + a_{3}} + \dfrac {a_{2}^{2}}{a_{3} + a_{4}} + \dfrac {a_{3}^{2}}{a_{4} + a_{1}} + \dfrac {a_{4}^{2}}{a_{1} + a_{2}}$.

$B = a_{1}^{2}(a_{2} + a_{3}) + a_{2}^{2}(a_{3} + a_{4}) + a_{3}^{2}(a_{4} + a_{1}) + a_{4}^{2}(a_{1} + a_{2})$.

$C = a_{1}^{2}(a_{2} + a_{3})^{2} + a_{2}^{2}(a_{3} + a_{4})^{2} + a_{3}^{2}(a_{4} + a_{1})^{2} + a_{4}^{2}(a_{1} + a_{2})^{2}$.

$D = 2[a_{1}^{2}(a_{2}^{2} + a_{3}^{2}) + a_{2}^{2}(a_{3}^{2} + a_{4}^{2}) + a_{3}^{2}(a_{4}^{2} + a_{1}^{2}) + a_{4}^{2}(a_{1}^{2} + a_{2}^{2})]$.

$E = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + a_{4}^{2}$.

+ Với mọi $x, y$, ta luôn là có: 

$2(x^{2} + y^{2} > (x + y)^{2}$

$⇒ D ≥ C$.                           $(1)$

+ Dễ dàng biến đổi: 

$E^{2} - D = (a_{1} - a_{3})^{2} + (a_{2} - a_{4})^{2} > 0$.

$⇒ E^{2} ≥ D$.                      $(2)$

+ Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki, ta có: 

$AB > E^{2}$.                           $(3)$

$CD ≥ B^{2}$.                          $(4)$

+ Từ $(1)$, $(2)$ và $(4)$, ta có: 

$B^{2} ≤ CE ≤ DE ≤ E^{2} 

$⇒ B ≤ E\sqrt{E}$.                $(5)$

+ Từ $(3)$ và $(5)$, suy ra: 

$A ≥ \dfrac {E^{2}}{B} ≥ \dfrac {E^{2}}{E\sqrt{E}} = \sqrt {E} ≥ 1$.

+ Vậy: $A = 1 ⇔$ đẳng thức ở $(1)$, $(2)$, $(3)$ và $(4)$ xảy ra khi $a_{1} = a_{2} = a_{3} = a_{4} = \dfrac {1}{2}$. 

-----------------------------

XIN HAY NHẤT 

CHÚC EM HỌC TỐT