a)

Xét $\Delta DEH$ vuông tại $D$ và $\Delta MEH$ vuông tại $M$, ta có:

+   $EH$ là cạnh chung

+   $\widehat{DEH}=\widehat{MEH}$ (vì $EH$ là phân giác)

$\to \Delta DEH=\Delta MEH\left( ch-gn \right)$

b)

Vì $\Delta DEH=\Delta MEH\left( cmt \right)$

$\to ED=EM$ và $HD=HM$

$\to E,H$ thuộc đường trung trực của $DM$

$\to EH$ là đường trung trực của $DM$

c)

Xét $\Delta DHN$ vuông tại $D$ và $\Delta MHF$ vuông tại $M$, ta có:

+   $\widehat{DHN}=\widehat{MHF}$ (hai góc đối đỉnh)

+   $HD=HM\left( cmt \right)$

$\to \Delta DHN=\Delta MHF\left( cgv-gn \right)$

$\to HN=HF$ (hai cạnh tương ứng)

$\to \Delta NHF$ cân tại $H$

d)

Vì $ED=EM\left( cmt \right)$

$\to \Delta EDM$ cân tại $E$

$\to \widehat{EMD}=\dfrac{180{}^\circ -\widehat{MED}}{2}\,\,\,\left( 1 \right)$

Ta có $ED=EM\left( cmt \right)$

Ta có $DN=MF$ (vì $\Delta DHN=\Delta MHF$)

$\to EN=EF$

$\to \Delta ENF$ cân tại $E$

$\to \widehat{EFN}=\dfrac{180{}^\circ -\widehat{MED}}{2}\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)\to \widehat{EMD}=\widehat{EFN}$

Mà hai góc này nằm ở vị trí đồng vị

Vậy $DM//FN$