1)

Tứ giác $BFHD$ có $\widehat{BFH}=\widehat{BDH}=90{}^\circ $

$\to \widehat{BFH}+\widehat{BDH}=180{}^\circ $

$\to BFHD$ nội tiếp

Tứ giác $CEHD$ có $\widehat{CEH}=\widehat{CDH}=90{}^\circ $

$\to \widehat{CEH}+\widehat{CDH}=180{}^\circ $

$\to CEHD$ nội tiếp

Tứ giác $BFEC$ có $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90{}^\circ $

$\to BFEC$ nội tiếp

2)

$BFHD$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{HFD}=\widehat{HBD}$

$BFEC$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{HFE}=\widehat{HBD}$

$\Rightarrow \widehat{HFD}=\widehat{HFE}\Rightarrow FH$ là phân giác $\widehat{DFE}$

Tương tự: $EH$ là phân giác $\widehat{DEF}$

$\Rightarrow H$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta DEF$

3)

$AN$ là đường kính $\Rightarrow AC\bot CN$ và $AB\bot BN$

$H$ là trực tâm $\Rightarrow AC\bot BH$ và $AB\bot CH$

$\to CN//BH$ và $BN//CH$

$\to BHCN$ là hình bình hành

Lại có $M$ là trung điểm $BC$

$\to M$ cũng là trung điểm $HN$

$\to H,M,N$ thẳng hàng

Ta có $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$$\to AG=\dfrac{2}{3}AM$

Xét $\Delta AHN$ có $AM$ là trung tuyến và $AG=\dfrac{2}{3}AM$

$\to G$ là trọng tâm của $\Delta AHN$

$\to HG$ đi qua trung điểm $AN$

Mà $O$ là trung điểm $AN$

$\to H,G,O$ thẳng hàng

$\to HO=3GO$

4)

Ta có $\widehat{HAE}=\widehat{HBC}$ (cùng phụ $\widehat{ACB}$)

Mà $\widehat{HBC}=\widehat{PAE}$ (cùng chắn cung $CP$)

$\to \widehat{HAE}=\widehat{PAE}$

$\to AE$ là phân giác $\widehat{HAP}$

Xét $\Delta AHP$ có $AE$ vừa là đường cao, đường phân giác

$\to \Delta AHP$ cân tại $A$

$\to AE$ là đường trung trực của $\Delta HP$

$\to P$ đối xứng với $H$ qua $AC$

Tương tự $Q,R$ đối xứng với $H$ qua $AB,BC$

5)

Vẽ tiếp tuyến $xAy$$\to OA\bot xy$

Ta có $\widehat{yAC}=\widehat{ABC}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến – dây cung)

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{AEF}$ (vì $BFEC$ nội tiếp)

$\to \widehat{yAC}=\widehat{AEF}$

Mà hai góc này ở vị trí so le trong

$\to xy//EF$

$\to OA\bot EF$

Ta có $\widehat{ABP}=\widehat{ACQ}$ (cùng phụ $\widehat{BAC}$)

$\to \overset\frown{AP}=\overset\frown{AQ}$

$\to AP=AQ$

$\to \Delta APQ$ cân tại $A$

6)

Ta có $\widehat{AEF}=\widehat{ABC}$ (vì $BFEC$ nội tiếp)

Mà: $\begin{cases}\widehat{AEF}+\widehat{AEE_1}=90{}^\circ\\\widehat{ABC}+\widehat{AE_1C}=90{}^\circ\end{cases}$

$\to \widehat{AE{{E}_{1}}}=\widehat{A{{E}_{1}}C}$

$\to \Delta AE{{E}_{1}}\backsim\Delta A{{E}_{1}}C$

$\to AE_{1}^{2}=AE.AC$

$\to A{{E}_{1}}$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\Delta CE{{E}_{1}}$

Tương tự, $A{{F}_{1}}$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\Delta BF{{F}_{1}}$

7)

$YZ$ là ĐTB của $\Delta ACH\Rightarrow YZ//AH$ và $YZ=\dfrac{1}{2}AH$

$XT$ là ĐTB của $\Delta ABH\Rightarrow XT//AH$ và $XT=\dfrac{1}{2}AH$

$\Rightarrow YZ//XT$ và $YZ=XT$

$\Rightarrow XYZT$ là hình bình hành

$XY$ là ĐTB của $\Delta ABC\Rightarrow XY//BC$

Mà $BC\bot AH$ và $AH//XT$

$\Rightarrow XY\bot XT$

$\Rightarrow XYZT$ là hình chữ nhật

Gọi $S$ là giao điểm $XZ,YT$

$\Rightarrow SX=SY=SZ=ST$

Tương tự: $IYMT$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow SI=SY=SM=ST$

$\Delta XFZ$ vuông tại $F$ có $S$ là trung điểm $XZ$

$\Rightarrow SX=SF=SZ$

$\Delta YET$ vuông tại $E$ có $S$ là trung điểm $YT$

$\Rightarrow SY=SE=ST$

$\Delta IDM$ vuông tại $I$ có $S$ là trung điểm $MI$

$\Rightarrow SI=SD=SM$

Vậy $SX=SY=SZ=ST=SI=SM=SF=SE=SD$

$\to D,E,F,X,Y,M,I,Z,T$ cùng thuộc một đường tròn tâm $S$

8)

$\Delta DFK\backsim\Delta DIE\left( g.g \right)\Rightarrow DF.DE=DK.DI$

$\Delta DBF\backsim\Delta DEC\left( g.g \right)\Rightarrow DF.DE=DB.DC$

$\Rightarrow DK.DI=DB.DC$

$\Rightarrow \Delta DKB\backsim\Delta DCI\left( c.g.c \right)$

$\Rightarrow \widehat{DBK}=\widehat{DIC}$

$\Rightarrow BK\bot IC$

$\Rightarrow K$ là trực tâm của $\Delta IBC$

9)

$\Delta IAE$ cân tại $I\Rightarrow \widehat{IAE}=\widehat{IEA}$

$\Delta MCE$ cân tại $M\Rightarrow \widehat{MCE}=\widehat{MEC}$

Mà $\widehat{IAE}+\widehat{MCE}=90{}^\circ $

$\to \widehat{IEA}+\widehat{MEC}=90{}^\circ $

$\to \widehat{MEI}=90{}^\circ $

$\to ME\bot IE$

$\to ME$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\Delta AEF$

Tương tự, $MF$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\Delta AEF$

10)

Có $A,{{T}_{1}},F,H,E$ cùng thuộc một đường tròn

$\to \widehat{A{{T}_{1}}H}=\widehat{AFH}=90{}^\circ $

$\to A{{T}_{1}}\bot {{T}_{1}}H$

Có $AN$ đường kính nên $A{{T}_{1}}\bot {{T}_{1}}N$

$\Rightarrow {{T}_{1}},H,N$ thẳng hàng

Mà $H,M,N$ thẳng hàng

$\Rightarrow {{T}_{1}},H,M,N$ thẳng hàng

$\Rightarrow M,H,{{T}_{1}}$ thẳng hàng