Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a) Dựa vào định nghĩa kí hiệu [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x nên ta có
ngay [x] ≤ x.
Giả sử x ≥ [x] + 1 mà [x] + 1 > [x] điều này mâu thuẫn với định nghĩa về [x] là số nguyên
lớn nhất không vượt quá x. Do đó x < [x] + 1 hay x − 1 < [x].
Bây giờ ta đặt x = {x} + [x] trong đó {x} được gọi là phần lẻ của x. Kết hợp các BĐT vừa
chứng minh thì ta có 0 ≤ {x} < 1.
Khi đó [x + 1] = [[x] + 1 + {x}] = [x] + 1.
Vậy suy ra x − 1 < [x] ≤ x < [x] + 1 = [x + 1] với mọi x ∈ R.
b) Với mỗi số nguyên dương 1 ≤ n ≤ 840, ta đặt [√n] = a (a ∈ N∗). Khi đó ta có:a² ≤ n < (a + 1)² hay a² ≤ n ≤ a(a + 2)
Giả sử [√n] là ước của n, tức là a là ước của n khi đó n chỉ nhận ba giá trị là a².a(a + 1) và
a(a + 2).
Do ba số thuộc trong nửa khoảng [a²,(a + 1)²) nên ta có với mỗi a nguyên dương ta lại có ba
số n thỏa mãn điều kiện bài toán và phân biệt.
Mặt khác 1 ≤ n ≤ 840 nên a
2 ≤ 840 hay 1 ≤ a ≤ 28.
Từ đó ta có tổng cộng 28 × 3 = 84 số n thỏa mãn điều kiện bài toán.