Đáp án + Giải thích các bước giải:

`a,` Xét `\triangleAMC ` và `\triangleEMB`, ta có:

`AM = ME` (gt)

`\hat{BME}` = `\hat{AMC}` ( đối đỉnh )

`BM = MC` ( vì M là trung điểm của `BC` )

`=>` `\triangleAMC ` = `\triangleEMB` ( c . g . c )

`=>` `{(AC=EB),(\hat{MAC}=\hat{MEB}):}` (2 cặp canh - góc tương ứng )

Mà `\hat{MAC}` và `\hat{MEB}` ở vị trí so le trong=

`=>` `AC` $\parallel$ `EB`

`=>` (đpcm)

`b,` Xét `\triangleMAI` và `\triangleMEK`, ta có:

`AI=EK` (gt)

`\hat{MEK}` = `\hat{MAI}` ( vì `\triangleAMC ` = `\triangleEMB` )

`AM=ME` (gt)

`=>` `\triangleMAI` = `\triangleMEK` ( c . g . c )

`=>` `\hat{AMI}` = `\hat{EMK}` ( đối đỉnh )

Mà `\hat{AMC}` = `\hat{BME}` `=>` `\hat{AMI}` `+` `\hat{IMC}` `=` `\hat{EMK}` `+` `\hat{BMK}`

`=>` `\hat{AMI}` `+` `\hat{BMK}` `+` `\hat{AMB}` `=` `180^o`

`=>` `I;` `M;` `K` thẳng hàng 

`=>` (đpcm)

`c,` Xét `\triangleBME`, ta có:

`\hat{MBE}` `+` `\hat{BEM}` `+` `\hat{BME}` `=` `180^o` (định lí)

hay `50^o` `+` `25^o` `+` `\hat{BME}` `=` `180^o`

`=>` `\hat{BME}` `=` `180^o-(50^o +25^o)`

                           `=` `180^o-75^o`

                           `=` `105^o`

Ta có: `\hat{BHC}` `=` `\hat{BME}` `+` `\hat{EMC}`

hay `\hat{BME}` `+` `\hat{EMC}` `=` `180^o`

`=>` `150^o` `+` `\hat{EMC}` `=` `180^o`

                           `\hat{EMC}` `=` `180^o-105^o`

                           `\hat{EMC}` `=` `75^o`

Xét  `\triangle` vuông `HME`, ta có:

`\hat{HME}` `+` `\hat{MEH}` `+` `\hat{MHE}` `=` `180^o`

hay `75^o` `+` `\hat{MEH}` `+` `90^o` `=` `180^o`

`=>` `\hat{MEH}` `=` `180^o - 90^o - 75^o`

                           `=` `15^o`

Vậy `\hat{BME}` `=` `105^o`

       `\hat{MEH}` `=` `15^o`

Đáp án:

a) $M$ là trung điểm của $BC\Rightarrow BM=CM$.

Ta có $\widehat{AMC}=\widehat{BME}$ (đối đỉnh).

Xét hai tam giác $\Delta AMC$ và $\Delta BME$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}BM=CM\,\rm(cmt)\\\widehat{AMC}=\widehat{BME}\,\rm(cmt)\\ME=MA\,\rm(gt)\end{array}\!\right\}\Delta AMC=\Delta BME$ (c-g-c).

$\Rightarrow AC=EB$ (hai cạnh tương ứng).

$\Rightarrow\widehat{ACM}=\widehat{MEB}$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow AC//EB$ (cặp góc so le trong).

b) Xét hai tam giác $\Delta AMI$ và $\Delta MKE$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}ME=MA\,\rm(gt)\\\widehat{ACM}=\widehat{MEB}\,\rm(cmt)\\AI=EK\,\rm(gt)\end{array}\!\right\}\Delta AMI=\Delta MKE$ (c-g-c).

$\Rightarrow \widehat{AMI}=\widehat{EMK}$ (hai góc tương ứng).

Mặt khác, $ME$ là tia đối của $MA$ nên $A$, $M$, $E$ nằm trên một đường thẳng.

Mà hai góc này chung gốc $M$ và bằng nhau và $A$, $M$, $E$ nằm trên một đường thẳng

$\Rightarrow \widehat{AMI}$ và $\widehat{EMK}$ đối đỉnh.

$\Rightarrow MI$ là tia đối của $MK$

$\Rightarrow I$, $M$, $K$ nằm trên một đường thẳng.

$\Rightarrow I$, $M$, $K$ thẳng hàng.

c) $\Delta BME$ có $\widehat{HBE}+\widehat{MEB}+\widehat{BME}=180^\circ$

$\Rightarrow 50^\circ+\widehat{MEB}+25^\circ=180^\circ$

$\Rightarrow 75^\circ+\widehat{MEB}=180^\circ$

$\Rightarrow\widehat{MEB}=105^\circ$.

$\Delta HBE$ vuông tại $H$ có $\widehat{HBE}+\widehat{HEB}=90^\circ$

$\Rightarrow 50^\circ+\widehat{HEB}=90^\circ$

$\Rightarrow\widehat{HEB}=40^\circ$

Ta có $\widehat{HEB}=\widehat{HEM}+\widehat{MEB}$

$\Rightarrow 40^\circ=\widehat{HEM}+25^\circ$

$\Rightarrow\widehat{HEM}=15^\circ$.