a)

Vì $AF,DB$ là hai tiếp tuyến của $\left( O \right)$

$\to \widehat{AFO}=\widehat{ABD}=90{}^\circ $

Xét $\Delta AFO$ và $\Delta ABD$, ta có:

+   $\widehat{AFO}=\widehat{ABD}=90{}^\circ $

+   $\widehat{DAB}$ là góc chung

$\to \Delta AFO\backsim\Delta ABD\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{AF}{AB}=\dfrac{AO}{AD}$

$\to AO.AB=AF.AD$

b)

Ta có $DB=DF$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có $OB=OF=R$

$\to DO$ là đường trung trực của $BF$

$\to DO\bot BF$ tại $H$

Ta có $\widehat{BKC}=90{}^\circ $ (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)

$\to BK\bot CD$ tại $K$

Theo hệ thức lượng trong $\Delta DBO$ và $\Delta DBC$

Ta có $D{{B}^{2}}=DH.DO=DK.DC$

$\to \dfrac{DH}{DC}=\dfrac{DK}{DO}$

Xét $\Delta DHK$ và $\Delta DCO$, ta có:

+   $\widehat{HDK}$ là góc chung

+   $\dfrac{DH}{DC}=\dfrac{DK}{DO}\left( cmt \right)$

$\to \Delta DHK\backsim\Delta DCO\left( c.g.c \right)$

$\to \widehat{DHK}=\widehat{DCO}$

$\to KHOC$ nội tiếp

c)

Vì $DB\bot BC$ và $OM\bot BC$

$\to DB//OM$

$\to \widehat{BDO}=\widehat{MOD}$ (hai góc so le trong)

Mà $\widehat{BDO}=\widehat{MDO}$ (vì $DO$ là đường trung trực của $BF$)

$\to \widehat{MOD}=\widehat{MDO}$

$\to \Delta OMD$ cân tại $O$

$\to OM=DM$

Theo hệ thức lượng trong $\Delta MOA$ vuông tại $O$, đường cao $OF$

Ta có $O{{M}^{2}}=AM.MF$

$\to D{{M}^{2}}=AM.\left( DF-DM \right)$

$\to D{{M}^{2}}=AM.DF-AM.DM$

$\to D{{M}^{2}}=AM.DB-AM.DM$

$\to AM.DB-D{{M}^{2}}=AM.DM$

$\to \dfrac{AM.DB-D{{M}^{2}}}{AM.DM}=1$

$\to \dfrac{DB}{DM}-\dfrac{DM}{AM}=1$