Gọi $X,Y,Z$ là trung điểm $AD,BD,BC$

Khi đó: $O,G_1,X$ thẳng hàng và $O,G_2,Z$ thẳng hàng.

Theo tính chất trọng tâm: $\dfrac{OG_1}{OX}=\dfrac{2}{3},\dfrac{OG_2}{OZ}=\dfrac{2}{3}$

$\to \dfrac{OG_1}{OX}=\dfrac{OG_2}{OZ}=\dfrac{2}{3}\\\to G_1G_2//XZ\\\to \dfrac{G_1G_1}{XZ}=\dfrac{OG_1}{OX}=\dfrac{OG_2}{OZ}=\dfrac{2}{3}$

Dễ dàng chứng minh được: $\widehat{XYZ}=\widehat{H_1OH_2}$

Áp dụng Bổ đề trực tâm cho $\Delta OAB,\Delta OBC$ có: $\widehat{AOB}=\widehat{DOC}$

$\to \dfrac{OH_1}{AB}=\dfrac{OH_2}{DC}$   

$YZ,XY$ lần lượt là đường trung bình của $\Delta DBC,\Delta ABD$

$\to YZ=\dfrac{CD}{2},XY=\dfrac{AB}{2}\to \dfrac{OH_1}{2XY}=\dfrac{OH_2}{2YZ}\to \dfrac{OH_1}{XY}=\dfrac{OH_2}{YZ}$

Ta được cặp: $\Delta XYZ\backsim\Delta H_1OH_2$ (c.g.c)

$\to \widehat{XZY}=\widehat{H_1H_2O}$

Gọi $I=XZ∩H_1H_2, J=G_1G_2∩H_1H_2$

Dễ dàng chứng minh: $H_1H_2\bot XZ$

$\to H_1H_2\bot G_1G_2\\S_{H_2G_1H_1}=\dfrac{1}{2}.GJ.H_1H_2, S_{H_2G_2H_1}=\dfrac{1}{2}.G_2J.H_1H_2\\\to S=\dfrac{1}{2}.H_1H_2.G_1G_2=\dfrac{1}{6}.3G_1G_2.H_1H_2$

Áp dụng BĐT Cauchy ta được:

$3G_1G_2+H_1H_2 \ge 2 \sqrt{3G_1G_2.H_1H_2}\\\to (3G_1G_2+H_1H_2)^2\ge 4.3G_1G_2 . H_1H_2\\\to \dfrac{1}{4}.(3H_1H_2+H_1H_2)^2\ge 3G_1G_2.H_1H_2\\\to S\le \dfrac{(3G_1G_2+H_1H_2)^2}{24}$

Dấu "=" xảy ra khi: $\widehat{AOB}=45^o$