a)

Xét $\Delta BHA$ và $\Delta BAC$, ta có:

+   $\widehat{ABC}$ là góc chung

+   $\widehat{BHA}=\widehat{BAC}=90{}^\circ $

$\to \Delta BHA\backsim\Delta BAC\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{BH}{BA}=\dfrac{BA}{BC}$

$\to B{{A}^{2}}=BH.BC$

b)

Xét $\Delta BAD$ và $\Delta BHK$, ta có:

+   $\widehat{BAD}=\widehat{BHK}=90{}^\circ $

+   $\widehat{ABD}=\widehat{HBK}$ (vì $BD$ là phân giác)

$\to \Delta BAD\backsim\Delta BHK\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{BA}{BH}=\dfrac{BD}{BK}$

$\to BA.BK=BD.BH$

c)

Xét $\Delta MBC$ có hai đường cao $BE,CA$ cắt nhau tại $D$

$\to D$ là trực tâm của $\Delta MBC$

$\to MD\bot BC$ tại $I$

Xét $\Delta MEB$ và $\Delta MAC$, ta có:

+   $\widehat{BMC}$ là góc chung

+   $\widehat{MEB}=\widehat{MAC}=90{}^\circ $

$\to \Delta MEB\backsim\Delta MAC\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{ME}{MA}=\dfrac{MB}{MC}\to \dfrac{ME}{MB}=\dfrac{MA}{MC}$

Xét $\Delta MEA$ và $\Delta MBC$, ta có:

+   $\widehat{BMC}$ là góc chung

+   $\dfrac{ME}{MB}=\dfrac{MA}{MC}\left( cmt \right)$

$\to \Delta MEA\backsim\Delta MBC\left( c.g.c \right)$

Chứng minh tương tự, ta được $\Delta IEC\backsim\Delta MBC$

$\to \Delta MEA\backsim\Delta IEC$

$\to \widehat{MEA}=\widehat{IEC}$

Mà $\begin{cases}\widehat{MEA}+\widehat{BEA}=90{}^\circ\\\widehat{IEC}+\widehat{BEI}=90{}^\circ\end{cases}$

$\to \widehat{BEA}=\widehat{BEI}$

$\to EB$ là tia phân giác $\widehat{IEA}$