a)

Xét $\Delta AHN$ và $\Delta ACH$, ta có:

+   $\widehat{HAN}$ là góc chung

+   $\widehat{ANH}=\widehat{AHC}=90{}^\circ $

$\to \Delta AHN\backsim\Delta ACH\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{AH}{AC}=\dfrac{AN}{AH}$

$\to A{{H}^{2}}=AN.AC$

b)

Xét $\Delta AHM$ và $\Delta ABH$, ta có:

+   $\widehat{HAM}$ là góc chung

+   $\widehat{AMH}=\widehat{AHB}=90{}^\circ $

$\to \Delta AHM\backsim\Delta ABH\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{AH}{AB}=\dfrac{AM}{AH}$

$\to A{{H}^{2}}=AM.AB$

Mà $A{{H}^{2}}=AN.AC\left( cmt \right)$

$\to AN.AC=AM.AB$

$\to \dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}$

Xét $\Delta AMN$ và $\Delta ACB$, ta có:

+   $\widehat{MAN}$ là góc chung

+   $\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}\left( cmt \right)$

$\to \Delta AMN\backsim\Delta ACB\left( c.g.c \right)$

c)

Tứ giác $AMHN$ có $\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=\widehat{MAN}=90{}^\circ $

$\to AMHN$ là hình chữ nhật

Có $I$ là giao điểm hai đường chéo $AH$ và $MN$

$\to I$ là trung điểm $AH$

Lại có $K$ là trung điểm $BH$

$\to KI$ là đường trung bình của $\Delta ABH$

$\to KI//AB$

$\to KI\bot AC$

Xét $\Delta ACK$ là hai đường cao $KI,AH$ cắt nhau tại $I$

$\to I$ là trực tâm của $\Delta ACK$

$\to CI\bot AK$ tại $E$

Xét $\Delta AIE$ và $\Delta CIH$, ta có:

+   $\widehat{AIE}=\widehat{CIH}$ (hai góc đối đỉnh)

+   $\widehat{AEI}=\widehat{CHI}=90{}^\circ $

$\to \Delta AIE\backsim\Delta CIH\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{IA}{IC}=\dfrac{IE}{IH}$

$\to IA.IH=IC.IE$

$\to \dfrac{AH}{2}\cdot \dfrac{AH}{2}=IC.IE$

$\to A{{H}^{2}}=4IC.IE$