`p` và `p^2+2` là số nguyên tố.

+) Nếu $p=2$

`=>p^2+2=2^2+2=6` không là số nguyên tố

`=>` loại `p=2`

$\\$

+) Nếu `p=3`

`=>p^2+2=3^2+2=11` là số nguyên tố 

`\qquad p^3+2=3^3+2=29` là số nguyên tố 

`=>p=3` thỏa đề bài

$\\$

+) Nếu `p>3`

Vì `p` là số nguyên tố

`=>`$p\not\ \vdots\ 3$

`=>p=3k+1` hoặc `p=3k+2`

$\\$

++) Nếu `p=3k+1`

`=>p^2+2=(3k+1)^2+2`

`\qquad =(3k+1).(3k+1)+2`

`\qquad =(3k).(3k)+3k+3k+1+2`

`\qquad =9k^2+6k+3`

`\qquad =3(3k^2+2k+1)\ \vdots 3`

`=>p^2+2` không là số nguyên tố (trái với giả thiết $p^2+2$ là số nguyên tố)

`=>p\ne 3k+1`

$\\$

++) Nếu `p=3k+2`

`=>p^2+2=(3k+2)^2+2`

`\qquad =(3k+2).(3k+2)+2`

`\qquad =(3k).(3k)+3k.2+3k.2+2.2+2`

`\qquad =9k^2+12k+6`

`\qquad =3(3k^2+4k+2)\ \vdots 3`

`=>p^2+2` không là số nguyên tố (trái với giả thiết $p^2+2$ là số nguyên tố)

`=>p\ne 3k+2`

$\\$

`=>` Các số nguyên tố `p>3` không thỏa đề bài

Do đó số nguyên tố $p$ duy nhất thỏa đề bài là $3$, khi đó $p;p^2+2;p^3+2$ là các số nguyên tố $3;11;29$

Vậy $p$ và $p^2+2$ là số nguyên tố thì $p^3+2$ cũng là số nguyên tố 

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 `p` là số nguyên tố:

TH1:`p=2`

`=>p^2+2=6` không phải là số nguyên tố

`=>` Loại

TH2:`p=3`

`=>p^2+2=11`là số nguyên tố`(tm)`

`=>p^3+2=29`là số nguyên tố`(tm)`

TH3:`p>3,p` là số nguyên tố

`=>p`$\not\vdots$`3`

`=>p^2 :3` dư `1`

`=>(p^2 +2)`$\vdots$`3`

Mà `p^2 +2>3`

`=>p^2 +2 ` là hợp số

`=>` Loại

Vậy ......