Đáp án:

\(\begin{array}{l}
a)\quad  k = \dfrac{1}{4500}\\
b)\quad P(X \leqslant 10) = \dfrac{7}{27}\\
c)\quad E(X) = 15\end{array}\)

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
\quad f(x) = \begin{cases}kx(30-x)\quad khi\quad x\in (0;30)\\0\kern51pt khi\quad x\notin (0;30)\end{cases}\\
a)\quad \text{$f(x)$ là hàm mật độ xác suất khi và chỉ khi}\\
\quad \displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1\\
\Leftrightarrow \displaystyle\int\limits_0^{30}kx(30 - x) = 1\\
\Leftrightarrow k\left(15x^2 - \dfrac{x^3}{3}\right)\Bigg|_0^{30}=1\\
\Leftrightarrow 4500k = 1\\
\Leftrightarrow k = \dfrac{1}{4500}\\
b)\quad \text{Xác suất nhu cầu về loại hàng A không vượt quá}\\
\text{10.000 sản phẩm/năm:}\\
\quad P(X\leqslant 10) = \displaystyle\int\limits_{-\infty}^{10}f(x)dx\\
\Leftrightarrow P(X \leqslant 10) = \displaystyle\int\limits_0^{10}\dfrac{1}{4500}x(30-x)dx\\
\Leftrightarrow P(X \leqslant 10) = \dfrac{7}{27}\\
c)\quad \text{Nhu cầu trung bình về loại hàng A:}\\
\quad E(X) = \displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx\\
\Leftrightarrow E(X) = \displaystyle\int\limits_0^{30}\dfrac{1}{4500}x^2(30-x)dx\\
\Leftrightarrow E(X) = 15
\end{array}\)