a)

Vì $SA$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)\to \widehat{SAO}=90{}^\circ $

Vì $H$ là trung điểm dây $BC\to \widehat{SHO}=90{}^\circ $

$\to \widehat{SAO}=\widehat{SHO}=90{}^\circ $

$\to SAHO$ nội tiếp

b)

Xét $\Delta MHO$ và $\Delta MSA$, ta có:

+   $\widehat{HMO}$ là góc chung

+   $\widehat{MHO}=\widehat{MSA}$ (vì $SAHO$ nội tiếp)

$\to \Delta MHO\backsim\Delta MSA\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{MH}{MS}=\dfrac{MO}{MA}$

$\to MA.MH=MS.MO$

c)

Ta có $\widehat{ICH}=\widehat{HSO}$ (hai góc so le trong)

Ta có $\widehat{HSO}=\widehat{HAO}$ (vì $SAHO$ nội tiếp)

$\to \widehat{ICH}=\widehat{HAO}$

$\to ACHI$ nội tiếp

$\to \widehat{SHI}=\widehat{CAI}$

Mà $\widehat{CAI}=\widehat{CBD}$ (cùng chắn cung $CD$)

$\to \widehat{SHI}=\widehat{CBD}$

Mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong

$\to IH//BK$

Xét $\Delta CBK$ có $H$ là trung điểm $BC$ và $IH//BK$

$\to I$ là trung điểm $CK$