Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

$\dfrac{a}{b^3+16}=\dfrac{1}{16}\left(a-\dfrac{ab^3}{b^3+16} \right)$

Ta có đánh giá:

$\dfrac{ab^2}{12} \geq \dfrac{ab^3}{b^3+16}$

Thật vậy, BĐT trên tương đương: $\dfrac{ab^2(b+4)(b-2)^2}{12(b^3+16)} \geq 0$ (đúng)

Do đó:

$\dfrac{a}{b^3+16}=\dfrac{1}{16}\left(a-\dfrac{ab^3}{b^3+16} \right) \geq \dfrac{1}{16}\left(a-\dfrac{ab^2}{12}\right)$

(Tại sao ko làm "đơn giản" hơn bằng cách áp dụng Cô-si ngược dấu: $-\dfrac{ab^3}{b^3+8+8} \geq -\dfrac{ab^3}{3\sqrt[3]{b^3.8.8}}$ bởi vì đề bài cho $a;b;c$ có thể bằng 0, nên biểu thức $\dfrac{ab^3}{3\sqrt[3]{b^3.8.8}}$ không hề đảm bảo mẫu thức khác 0, đó là 1 kiểu đánh giá không hoàn hảo. Điều đó chỉ áp dụng được khi $a;b;c$ dương)

Tương tự:

$\dfrac{b}{c^3+16} \geq \dfrac{1}{16}\left(b-\dfrac{bc^2}{12}\right)$

$\dfrac{c}{a^3+16} \geq \dfrac{1}{16}\left(c-\dfrac{ca^2}{12}\right)$

Cộng vế:

$A \geq \dfrac{1}{16}(a+b+c)-\dfrac{1}{192}(ab^2+bc^2+ca^2)=\dfrac{3}{16}-\dfrac{1}{192}(ab^2+bc^2+ca^2)$

Không mất tính tổng quát, giả sử $b=mid\{a;b;c\}$

$\Rightarrow (b-a)(b-c) \leq 0$

$⇔b^2+ac \leq ab+bc ⇒ab^2+ca^2 \leq ba^2+abc$

$⇒ab^2+ca^2+bc^2 \leq bc^2+ba^2+abc \leq bc^2+ba^2+2abc=b(a+c)^2$

$⇒ab^2+bc^2+ca^2 \leq \dfrac{1}{2}.2b.(a+c)(a+c) \leq \dfrac{1}{54}(2b+a+c+a+c)^3=4$

$⇒A \geq \dfrac{3}{16}-\dfrac{1}{192}·4=\dfrac{1}{6}$

$A_{min}=\dfrac{1}{6}$ khi $(a;b;c)=(2;1;0)$ và 1 vài bộ hoán vị (không phải toàn bộ các bộ hoán vị).