Đáp án:

`n=-2`

Giải thích các bước giải:

Để `(6n+1)/(2n+3)` là số nguyên dương thì phải là số nguyên trước

`=>6n+1 vdots 2n+3`

`=>6n+9-8 vdots 2n+3`

`=>3(2n+3)-8 vdots 2n+3`

`=>8 vdots 2n+3`

`=>2n+3 in Ư(8)={1,-1,2,-2,4,-4,8,-8}`

`=>2n in {-2,-4,-1,-5,1,-7,5,-11}`

`=>n in {-1,-2}` vì `n in Z`

Thử `n=-1`

`=>(6n+1)/(2n+3)=-5(l)`

`=>n=-1(l)`

Thử `n=-2`

`=>(6n+1)/(2n+3)=11(TM)`

Vậy `n=-2` thì `(6n+1)/(2n+3)` là số nguyên dương.

Giải thích các bước giải:

 $\dfrac{6n+1 }{2n+3}$ là số nguyên dương $(x∈\mathbb{Z})$

Mà:

$\dfrac{6n+1}{2n+3}$

$=\dfrac{6n+9-8}{2n+3}$

$=3+\dfrac{-8}{2n+3}$

Để $(6n+1)\vdots 2n+3$

$⇒8\vdots 2n+3$

Mà để $\dfrac{6n+1 }{2n+3}$ là số nguyên dương

$⇒\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}6n+1>0\\2n+3>0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}6n+1<0\\2n+3<0\end{array} \right.\end{array} \right.\\8\vdots 2n+3\end{array} \right.⇒\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}n>-\dfrac{1}{6}\\n>-\dfrac{2}{3}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}n<-\dfrac{1}{6}\\n<-\dfrac{2}{3}\end{array} \right.\end{array} \right.\\2n+3∈Ư(8)\end{array} \right.⇒\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}n>-\dfrac{1}{6}\\n<-\dfrac{3}{2} \end{array} \right.\\2n+3∈\{±1;±2;±4;±8\}\end{array} \right.$

Ta có bảng sau:

$\begin{array}{|c|c|}\hline2n+3&-8&-4&-2&-1&1&2&4&8\\\hline n&-\dfrac{11}{2} \text{(ktm)}&-\dfrac{7}{2} \text{(ktm)}&-\dfrac{5}{2} \text{(ktm)}&-2 \text{(tm)}&-1\text{(ktm)}&-\dfrac{1}{2}\text{(ktm)}&\dfrac{1}{2} \text{(ktm)}&\dfrac{5}{2} \text{(ktm)}\\\hline\end{array}$

Vậy với $n=-2$ thì $\dfrac{6n+1 }{2n+3}$ là số nguyên dương.