Đáp án:

a) $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có đường phân giác $BD$ ứng với $\widehat{ABC}$

$\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{DBH}$.

Xét hai tam giác vuông $\Delta ABD$ và $\Delta HBD$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}\widehat{ABD}=\widehat{DBH}\,\rm(cmt)\\BD\ \rm là\ cạnh\ chung\end{array}\right\}\Delta ABD=\Delta HBD\,\rm(ch\!-\!gn)$

b) *$\Delta ABD=\Delta HBD\Rightarrow AB=BH$ (hai cạnh tương ứng).

$\Rightarrow\Delta ABH$ cân tại $B$ có đường phân giác $BD$

$\Rightarrow BD$ đồng thời là đường trung trực của $\Delta ABH$ ứng với cạnh $AH$

$\Rightarrow BD$ là đường trung trực của $AH$. 

*$\Delta ABD=\Delta HBD\Rightarrow AD=HD$ (hai cạnh tương ứng).

Xét tam giác vuông $\Delta DHC$ vuông tại $H$

$\Rightarrow DC$ là cạnh huyền và $HD$ là cạnh góc vuông.

$\Rightarrow HD<DC$ (cạnh góc vuông bé hơn cạnh huyền).

Mà $AD=HD$ nên $AD<DC$.

c) *Xét hai tam giác vuông $\Delta ADK$ và $\Delta DHC$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}AD=HD\rm\,(cmt)\\\widehat{DAK}=\widehat{DHC}=90^\circ\\AK=CH\,\rm(gt)\end{array}\!\right\}\Delta ADK=\Delta DHC\,\rm(c\!-\!g\!-\!c)$

$\Rightarrow\widehat{ADK}=\widehat{HDC}$ (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này có chung gốc $D$ và đối đỉnh

$\Rightarrow H$, $D$, $K$ thẳng hàng.

*Ta có $\Delta ABC$ vuông tại $A$

$\Rightarrow AC\,\bot\, AB\Rightarrow AC\,\bot\, BK$

$\Rightarrow AC$ là đường cao của $\Delta BCK$.

$DH\,\bot\, BC\Rightarrow KH\,\bot\,BC$

$\Rightarrow KH$ là đường cao của $\Delta BCK$.

Vì $AC$ và $KH$ là đường cao mà $AC\cap HK=D$

$\Rightarrow D$ là trực tâm của $\Delta BCK$.

$\Rightarrow BD$ đi qua trực tâm $D$

$\Rightarrow BD$ là đường cao của $\Delta BCK$ ứng với $KC$.

$\Rightarrow BD\,\bot\, KC$.

d) $\Delta ADK=\Delta HDC\Rightarrow DC=DK$ (hai cạnh tương ứng).

$\Delta ADK$ có $AD+AK>DK$

$\Rightarrow 2.(AD+AK)>2DK$ mà $DC=DK$

$\Rightarrow 2.(AD+AK)>DC+DK$.

$\Delta DKC$ có $DC+DK>CK$ mà $2.(AD+AK)>DC+DK$

$\Rightarrow 2.(AD+AK)>DC+DK>CK$

$\Rightarrow 2.(AD+AK)>CK$.