Đặt: $\begin{cases} 2n+1=a^2\\3n+1=b^2\end{cases}(a,b\in Z^+)(*)$

Để ý nếu có nhân thêm để triệu tiêu ẩn $n$ từ hệ trên cũng không có hướng đi tiếp.

Sử dụng nốt dữ kiện đề bài cho $2n+9$ nguyên tố, nên mình nghĩ sẽ có mối liên hệ giữa $2n+9$ với hệ trên bằng cách như sau:

Đặt: $2n+9= v(2n+1) + t(3n+1)$

$\to 2n+9=2nv +v+3nt + t\\\to 2n+9=n(2v+3t)+(v+t)\\\to \begin{cases} 2v+3t=2\\v+t=9 \end{cases}\\\to \begin{cases} v=25\\t=-16 \end{cases}\\\to 2n+9=25(2n+1)-16(3n+1)=25a^2-16b^2\\\to 2n+9=(5a-4b)(5a+4b)$

Do $2n+9$ nguyên tố và $5a-4b<5a+4b$

$\to 5a-4b=1\to 4b=5a-1\to b=\dfrac{5a-1}{4}$

Hệ $(*)\leftrightarrow \begin{cases} 2n+1=a^2\\3n+1=\dfrac{(5a-1)^2}{16} \end{cases}$

$\to \begin{cases} 2n+1=a^2\\48n+16=25a^2-10a+1 \end{cases}\\\to \begin{cases} n=\dfrac{a^2-1}{2}(1)\\48n+16=25a^2-10a+1(2)\end{cases}$

Thay $(2)$ vào $(1)$

$\to 48.\dfrac{a^2-1}{2}+16=25a^2-10a+1$

Pt ẩn $a$ dễ dàng giải ra được: $a=1,a=9$(T/m)

Với $a=1\to n=0$(T/m)

Với $a=9\to n=40$(T/m)

Với $n=0\to 2n+1=1^2, 3n+1=1^2, 2n+9=9$(Loại)

Với $n=40\to 2n+1=9^2, 3n+1=11^2, 2n+9=89$(Nhận)

Vậy $n=40$

Đặt `2n+1=a^2` `;` `3n+1=b^2` `(a,b\in` `N`*`)`

Ta có: `2n+9`

`=25(2n+1)-16(3n+1)`

`=25a^2-16b^2`

`=(5a-4b)(5a+4b)`

Vì `5a+4b>5a-4b` `;` `2n-9` là số nguyên tố nên một trong `2` thừa số bằng `1` và `1` thừa số bằng `2n-9`

`→` $\begin{cases} 5a+4b=2n+9\\5a-4b=1\\ \end{cases}$

`→` `10a=2n+10`

`↔` `5a=n+5`

`↔` `25a^2=(n+5)^2`

`↔` `25(2n+1)=n^2+10n+25`

`↔` `50n+25-n^2-10n-25=0`

`↔` `40n-n^2=0`

`↔` `n(40-n)=0`

`↔` \(\left[ \begin{array}{l}n=0\\40-n=0\end{array} \right.\) 

`↔` \(\left[ \begin{array}{l}n=0\\n=40\end{array} \right.\) 

Thử lại: 

Với `n=0` `→` `2n+9=2.0+9=9`  `(KTM)`

`→` `n=0` không thỏa mãn

Với `n=40` `→` $\begin{cases} 2n+1=2.40+1=81(TM)\\3n+1=3.40+1=121(TM)\\2n+9=2.40+9=89(TM) \end{cases}$

Vậy `n=40` thỏa mãn điều kiện bài ra