Lời giải:

a) Ta có:
$\widehat{MNC} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
$\Rightarrow \widehat{BNC} = 90^\circ$
Xét tứ giác $BANC$ có:
$\widehat{BAC} = \widehat{BNC} = 90^\circ$
$\widehat{BAC}$ và $\widehat{BNC}$ cùng nhìn cạnh $BC$
Do đó: $BANC$ là tứ giác nội tiếp
b) Ta có:
$BANC$ là tứ giác nội tiếp (câu a)
$\Rightarrow \widehat{ACB} = \widehat{ANB}$ (cùng nhìn cạnh $AB$) $(1)$
Ta lại có:
$\widehat{ANB} = \dfrac12(sđ\mathop{MN}\limits^{\displaystyle\frown} + sđ\mathop{ND}\limits^{\displaystyle\frown})$
$\Leftrightarrow \widehat{ANB} = \dfrac12sđ\mathop{MD}\limits^{\displaystyle\frown}$
mà $\widehat{DCN} =  \dfrac12sđ\mathop{MD}\limits^{\displaystyle\frown}$
nên $\widehat{ANB} = \widehat{DCN}$
hay $\widehat{ANB} = \widehat{DCA}\qquad (2)$
Từ $(1)(2)\Rightarrow \widehat{ACB} = \widehat{DCA}$
$\Rightarrow AC$ là phân giác của $\widehat{BCD}$
c) $BMCK$ là hình thoi
$\Rightarrow \begin{cases}MK\perp BC\\ME = EK = \dfrac12MK;\, BE = EC = \dfrac12BC\end{cases}$
Ta có:
$ME = EK = \dfrac12MK\quad (gt)$
$\widehat{MEC} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
$\Rightarrow MK\perp BC$
Do đó:
$BMCK$ là hình thoi $\Leftrightarrow BE = EC = \dfrac12BC$
hay $M$ là giao điêm giữa đường trung trực của cạnh $BC$ và $AC$