1, Ta có: $AD,BE,CF$ là các đường cao $ΔABC$

$⇒\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=\widehat{ADB}=\widehat{AEB}=90^o$

$\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^o$

$⇒E;F$ cùng nhìn `[BC]` dưới 1 góc ko đổi

$E;F$ là 2 đỉnh liên tiếp của tứ giác $BFEC$

`⇒` Tứ giác `BFEC` nội tiếp (Bài toán quỹ tích cung chứa góc)

$\widehat{ADB}=\widehat{AEB}=90^o$

$⇒D;E$ cùng nhìn `[AB]` dưới 1 góc ko đổi

$E;D$ là 2 đỉnh liên tiếp của tứ giác $AEBD$

`⇒` Tứ giác `AEBD` nội tiếp (Bài toán quỹ tích cung chứa góc)

2.

Ta có: Tứ giác `BFEC` nội tiếp

$⇒\widehat{AEF}=\widehat{FBC}$ (góc ngoài tại 1 đỉnh = góc trong đỉnh đối diện)

Hay $\widehat{AEF}=\widehat{ABC}$

Xét $ΔAEF$ và $ΔABC$ có:

$\widehat{A}$ chung

$\widehat{AEF}=\widehat{ABC}$

$⇒ΔAEF \sim ΔABC(g.g)$

`⇒\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}`

`⇒AE.AC=AF.AB`

3. Tứ giác `AEBD` nội tiếp

$⇒\widehat{CED}=\widehat{ABD}$

Hay $\widehat{CED}=\widehat{ABC}$

Mà $\widehat{AEF}=\widehat{ABC}$

$⇒\widehat{CED}=\widehat{AEF}$

$⇒EB$ là tia phân giác $ΔEFD$

Chứng minh tươn tự có: $FC$ là tia phân giác $ΔEFD$

$DA$ là tia phân giác $ΔEFD$

$EB;FC;AD$ cắt nhau tại H nên $H$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $EFD$

4.

Xét $(O)$ có: $\widehat{MBC}=\widehat{MAC}$ (các góc nội tiếp cùng chắn cung $MC$)

Hay $\widehat{MBC}=\widehat{HAC}$

$\widehat{HAC}=\widehat{HBC}$ (cùng phụ $\widehat{ACB}$)

$⇒\widehat{MBC}=\widehat{HBC}$

$⇒BC$ là phân giác $\widehat{HBM}$

Mà $BC⊥HM$ tại $H$

$⇒ΔHBM$ cân tại $B$

$⇒D$ đồng thời là trung điểm $HM$

$BC⊥HM$ tại $D$

$⇒H;M$ đối xứng qua $BC$

5. Chứng minh tương tự như trên có : $E;F$ lần lượt là trung điểm $HN;HP$

$⇒EF$ là đường trung bình $ΔHPN$
$⇒PN//EF$

Vẽ tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn; $I$ là điểm trên tiếp tuyến $⇒AI⊥AO$)

Xét $(O)$ có: $\widehat{IAC}=\widehat{ABC}$ ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung $AC$)

Mà $\widehat{AEF}=\widehat{ABC}(cmt)$

$⇒\widehat{IAC}=\widehat{AEF}$

$⇒AI//EF$

Mà $AI⊥AO$

$⇒AO⊥EF$ (đpcm)