Đáp án:

a) áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác ABC vuông tại A, có : 

                  BC²  = AB² + AC²  

                  BC² =  9² + 12² 

                  BC² = 81 + 144

                  BC² = √225

            => BC    =15cm

      Vậy BC = 15cm .

b) Xét tam giác ABD và tam giác MBD có:

           góc A = góc M = 90⁰ (gt)

                BD chung

          góc B₁ = góc B₂ (gt)

=> tam giác ABD = tam giác MBD (ch-gn)

c) xét tam giác ADE và tam giác MCD có:

           góc A = góc M = 90⁰ (gt)

               AD = DM (tam giác ABD = tam giác MBD)

            góc ADE = góc MDC (đối đỉnh)

=> tam giác ADE = tam giác MDC (g.c.g)

        => AE = MC (cạnh tương ứng)

c) Ta có : BE = BA + AE

              BC = BM + MC

mà BA = BM ( chứng minh ở câu a )

      AE = MC (cmt)

=> BE = BC

=> tam giác BEC cân tại E

d) Tam giác BEC cân có BK là đường phân giác 

=> BK cũng là đường trung tuyến .

      EP cũng là đường trung tuyến ( Vì P là trung điểm của BC )

Mà : EP cắt BK tại I

=> I là trong tâm 

=> CI là đường trung tuyến.

Mà CQ cũng là đường trung tuyến ( Vì Q là trung điểm )

=> C , I ,Q thẳng hàng .

         Chúc bạn học tốt !

Giải thích các bước giải:

a)  `ΔABC` vuông tại `A`

`=> BC^2=AB^2+AC^2=9^2+12^2=225`

`=>BC=15cm`

b) `ΔABC` vuông tại `A => AB⊥AC`

Xét `ΔABD` và `ΔMBD` có:

`\hat{BAD}=\hat{BMD}=90^0 (AB⊥AC; DM⊥BC)`

`BD`: cạnh chung

`\hat{ABD}=\hat{MBD} (BD` là phân giác của `\hat{ABC})`

`=> ΔABD=ΔMBD`(cạnh huyền-góc nhọn)

c) `ΔABD=ΔMBD =>AB=BM; AD=DM`

`AB⊥AC=> BE⊥AC`

Xét `ΔADE` và `ΔMDC` có:

`\hat{DAE}=\hat{DMC}=90^0 (BE⊥AC; DM⊥BC)`

`AD=DM` (cmt)

`\hat{ADE}=\hat{MDC}` (đối đỉnh)

`=> ΔADE=ΔMDC` (g.c.g) `=> AE=MC`

Ta có: `AB=BM; AE=MC`

`=> AB+AE=BM+MC => BE=BC`

`=> ΔBEC` cân tại `B`

d) `ΔBEC` cân tại `B` có: `BK` là đường phân giác `(K∈BD)`

`=> BK` là đường trung tuyến 

Xét `ΔBEC` có:

`BK` là đường trung tuyến 

`EP` là đường trung tuyến (`P` là trung điểm của `BC`)

`BK` cắt `EP` tại `I `

`=> I` là trọng tâm `ΔBEC`

lại có `CQ` là đường trung tuyến (`Q` là trung điểm của `BE`)

`=> I∈CQ => I,C,Q` thẳng hàng