Đáp án:

a) Áp dụng định lý Pytagoras ta có:

$BC^2=AB^2+AC^2$

$\Rightarrow AC^2=BC^2-AB^2$

$\Rightarrow AC=\sqrt{BC^2-AB^2}$

$\Rightarrow AC=\sqrt{13^2-5^2}$

$\Rightarrow AC=\sqrt{144}$

$\Rightarrow AC=12cm$.

b) Xét hai tam giác vuông $\Delta ABC$ và $\Delta BKH$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}BK=BC\,\rm(gt)\\\widehat{ABH}\rm\ là\ góc\ chung\end{array}\right\}\Delta ABC=\Delta BKH\,\rm(ch-gn)$

$\Rightarrow AB=BH$ (hai cạnh tương ứng).

Mà $AB=5cm$ nên $BH=5cm$.

c) $\Delta BKC$ có $BK=BC$ (hai cạnh bên bằng nhau)

$\Rightarrow\Delta BKC$ cân tại $B$.

d) $Cx//HK$ mà $Q\in Cx$ nên $CQ//HK$.

$KH\,\bot\,BC$ mà $CQ//HK$ nên $CQ\,\bot\,BC$.

$\Rightarrow \Delta BCQ$ vuông tại $C$.

$\Rightarrow\widehat{BCQ}=90^\circ$.

Xét hai tam giác vuông $\Delta ABE$ và $\Delta BHE$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}AB=BH\,\rm(cmt)\\BE\ \rm là\ cạnh\ chung\end{array}\right\}\Delta ABE=\Delta BHE\,\rm(ch\!-\!cgv)$

$\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{EBH}$ (hai góc tương ứng).

Xét hai tam giác $\Delta BCQ$ và $\Delta BKQ$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}BK=BC\,\rm(gt)\\\widehat{ABE}=\widehat{EBH}\,\rm(cmt)\\BQ\ \rm là\ cạnh\ chung\end{array}\right\}\Delta BCQ=\Delta BKQ\,\rm(c\!-\!g\!-\!c)$

$\Rightarrow\widehat{BKQ}=\widehat{BCQ}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{BCQ}=90^\circ$ nên $\widehat{BKQ}=90^\circ$

$\Rightarrow\Delta BKQ$ vuông tại $K$.