Đáp án:

$(S): (x-8)^2 + (y-8)^2 + (z+1)^2 = 196$ 

Giải thích các bước giải:

Gọi đường thẳng $d$ là đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $(P)$. 

Khi đó ta có

$\vec{u}_d = \vec{n}_{(P)} = (6, 3, -2)$

Lại có $d$ đi qua $A(2, 5, 1)$ nên ta có

$d: \begin{cases} x = 2 + 6t,\\ y = 5 + 3t,\\ z = 1 - 2t \end{cases}, t \in \mathbb{R}$.

Gọi giao điểm của $d$ và $(P)$ là $H'$, khi đó $H \equiv H'$, tức là $H'$ là hình chiếu của $A$ lên $(P)$

Gọi $H(2 + 6h, 5 + 3h, 1 - 2h)$

Do $H \in (P)$ nên ta có

$6(2 + 6h) + 3(5 + 3h) - 2(1 - 2h) + 24 = 0$

$\Leftrightarrow 49h  + 49 = 0$

$\Leftrightarrow h = -1$

Vậy $H(-4, 2, 3)$

Gọi bán kính hình cầu là $R$, khi đó ta có

$S = 4\pi R^2 = 784 \pi$

$\Leftrightarrow 196 = R^2$

$\Leftrightarrow R = 14$

Do mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng tại $H$ nên nếu tâm mặt cầu là $I$ thì ta phải có $IH \perp (P)$ hay $I \in d$ và $IH = R = 14$

Gọi $I(2 + 6x, 5 + 3x, 1-2x)$. Khi đó ta có

$\vec{HI} = (6 + 6x, 3 + 3x, -2-2x)$

Ta lại có

$IH^2 = R^2 = 196$

$\Leftrightarrow (6 + 6x)^2 + (3 + 3x)^2 + (-2 -2x)^2 = 196$

$\Leftrightarrow 36(1 + x)^2 + 9(1 + x)^2 + 4(1 + x)^2 = 196$

$\Leftrightarrow (1+x)^2 = 4$

$\Leftrightarrow 1 + x = 2$ hoặc $1 + x = -2$

$\Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = -3$

Vậy $I(8, 8, -1)$ hoặc $I(-16, -4, 7)$

Để điểm $A$ nằm trong mặt cầu thì $IA < R = 14$, tức là $IA^2 \leq 196$
Với $I (8, 8, -1)$ ta có

$IA^2 = (8-2)^2 + (8-5)^2 + (-1 - 1)^2 = 36 + 9 + 4 < 196$
Vậy ptrinh mặt cầu thỏa mãn đề bài là

$(S): (x-8)^2 + (y-8)^2 + (z+1)^2 = 196$