a, Có M là trung điểm của AC (gt) ⇒$AM=MC=\frac{1}{2}AC$

N là trung điểm của AB (gt) ⇒$AN=NB=\frac{1}{2}AB$

Mà AB=AC (ΔABC cân tại A)

⇒ AM=MC=AN=NB

Xét ΔAMB và ΔANC có: 

AB=AC (cmt)

$\widehat{BAC}$ : góc chung

AM=AN (cmt)

⇒ ΔAMB=ΔANC (c.g.c)

⇒ MB=NC (các cạnh tương ứng)

$\widehat{ABM}=\widehat{ACN}$ (các góc tương ứng)

b, Có: $\widehat{ABC}=\widehat{ABM}+\widehat{MBC}$

$\widehat{ACB}=\widehat{ACN}+\widehat{NCB}$

Mà $\widehat{ABM}=\widehat{ACN}$ (cmt), $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (ΔABC cân tại A)

⇒ $\widehat{MBC}=\widehat{NCB}$ Hay $\widehat{IBC}=\widehat{ICB}$

Xét ΔIBC có: $\widehat{IBC}=\widehat{ICB}$ (cmt)

⇒ ΔIBC cân tại I

c, Gọi giao điểm của AI và BC là H

ΔIBC cân tại I (cmt) ⇒ IB=IC

Xét ΔAIB và ΔAIC có:

AB=AC (cmt)

AI: cạnh chung

IB=IC (cmt)   

⇒ ΔAIB=ΔAIC (c.c.c)

⇒ $\widehat{BAI}=\widehat{CAI}$ Hay $\widehat{BAH}=\widehat{CAH}$

Xét ΔABH và ΔACH có:

AB=AC (cmt)

$\widehat{BAH}=\widehat{CAH}$ (cmt)

AH: cạnh chung

⇒ ΔABH=ΔACH (c.g.c)

⇒ $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}$

Mà $\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=180°$

⇒ $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=\frac{180°}{2}=90°$

⇒ AH⊥BC

⇒ AI⊥BC tại H

Đáp án:

Giải thích các bước giải: