Đáp án:

Vậy biểu thức $P$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $3$ khi và chỉ khi $a=b=1$

Giải thích các bước giải:

a)

Với mọi $a,b$ là các số thực dương, ta luôn có: $a+b>0(1)$

Có: $a^3+b^3+6ab\leq 8$

$<=>(a^3+b^3+3a^2b+3ab^2)-(3a^2b+3ab^2-6ab)\leq 8$

$<=>(a+b)^3-3ab(a+b-2)\leq 8$

$<=>[(a+b)^3-8]-3ab(a+b-2)\leq 0$

$<=>(a+b-2)[(a+b)^2+2(a+b)+4]-3ab(a+b-2)\leq 0$

$<=>(a+b-2)[(a+b)^2+2(a+b)+4-3ab]\leq 0$

$<=>(a+b-2)[a^2-ab+b^2+2(a+b)+4]\leq 0(*)$

Lại có:

$+,a^2-ab+b^2=[a^2-2.a.\dfrac{1}{2}b+(\dfrac12 b)^2]+\dfrac34 b^2$

$=(a-\dfrac12 b)^2+\dfrac34 b^2$

Vì $(a-\dfrac12 b)^2\geq 0;\dfrac34b^2\geq 0$ nên $a^2-ab+b^2\geq 0$

$+,a+b>0=>2(a+b)>0$

$=>a^2-ab+b^2+2(a+b)+4>0+0+4>0$

Do đó $(*)<=>a+b-2\leq 0$

$<=>a+b\leq 2(2)$

Từ $(1)$ và $(2)=>0<a+b\leq 2(đpcm)$

b)

Có: $P=ab+\dfrac{2}{ab}$

$=(ab+\dfrac{1}{ab})+\dfrac{1}{ab}$

Mặt khác:

$+,ab+\dfrac{1}{ab}\geq 2.\sqrt{ab.\dfrac{1}{ab}}=2.\sqrt{1}=2(3)$ (Áp dụng bđt Cô - si)

$+,4ab\leq (a+b)^2$ (Áp dụng bđt Cô - si)

$=>ab\leq \dfrac{(a+b)^2}{4}$

$=>\dfrac{1}{ab}\geq \dfrac{1}{\dfrac{(a+b)^2}{4}}=\dfrac{4}{(a+b)^2}$

Do $a+b\leq 2=>\dfrac{4}{(a+b)^2}\geq \dfrac{4}{2^2}=1$

$=>\dfrac{1}{ab}\geq 1(4)$

Từ $(3)$ và $(4)=>(ab+\dfrac{1}{ab})+\dfrac{1}{ab}\geq 2+1=3$

$=>P\geq 3$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\begin{cases} ab=\dfrac{1}{ab}\\a+b=2 \end{cases}$

$<=>a=b=1$

Vậy biểu thức $P$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $3$ khi và chỉ khi $a=b=1$