a, Xét (O) có:

+ AB là tiếp tuyến, B là tiếp điểm (gt) ⇒ OB⊥AB ⇒ OB⊥AD ⇒ $\widehat{OBD}=90°$

+ AC là tiếp tuyến, C là tiếp điểm (gt) ⇒ OC⊥AC ⇒ $\widehat{OCE}=90°$

OM⊥DE (gt) ⇒ $\widehat{OMD}=\widehat{OME}=90°$

Có $\widehat{OBD}=\widehat{OMD}=90°$

⇒ Hai điểm B và M cùng nhìn OD dưới một góc vuông

⇒ Hai điểm B và M thuộc đường tròn đường kính OD

⇒ Bốn điểm B, D, O, M cùng thuộc đường tròn đường kính OD

Xét đường tròn đường kính OD có:

Bốn điểm B, D, O, M cùng thuộc đường tròn đường kính OD (cmt)

⇒ Tứ giác BDOM nội tiếp đường tròn đường kính OD

Xét tứ giác ECOM có $\widehat{OME}+\widehat{OCE}=90°+90°=180°$

mà hai góc này ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác ECOM nội tiếp đường tròn đường kính OE

b, 

Tứ giác BDOM nội tiếp đường tròn đường kính OD (cmt)

⇒ $\widehat{MBO}=\widehat{MDO}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MO)

Tứ giác ECOM nội tiếp đường tròn đường kính OD (cmt)

⇒ $\widehat{MCO}=\widehat{MEO}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MO)

Xét ΔOBC có: OB=OC=R

⇒ ΔOBC cân tại O

⇒ $\widehat{MBO}=\widehat{MCO}$

mà $\widehat{MBO}=\widehat{MDO}$ (cmt), $\widehat{MCO}=\widehat{MEO}$ (cmt)

⇒ $\widehat{MDO}=\widehat{MEO}$

Xét ΔODM có: $\widehat{MDO}=\widehat{MEO}$ (cmt)

⇒ ΔODM cân tại O

mà OM là đường cao (OM⊥DE)

⇒ OM là trung tuyến 

⇒ M là trung điểm của DE

Giải thích các bước giải:

a.Ta có $AB,AC$ là tiếp tuyến của $(O)\to AB\perp OB, AC\perp OC$

            $DE\perp OM$

 $\to \widehat{DBO}=\widehat{DMO}=90^o,\widehat{EMO}=\widehat{ECO}=90^o$

$\to DMOB, EMOC$ nội tiếp đường tròn đường kính $DO, OE$

b.Ta có $OMBD, OMEC$ nội tiếp

$\to \widehat{ODM}=\widehat{MBO}=\widehat{OBC}=\widehat{OCB}=\widehat{OCM}=\widehat{OEM}$

$\to\Delta ODE$ cân tại $O$

Mà $OM\perp DE$

$\to M$ là trung điểm $DE$