`a)` $∆ABC$ vuông tại $A$ (gt)

`=>\hat{CAB}=90°`

`AH` là đường cao $∆ABC$

`=>AH`$\perp BC$ tại $H$

`=>\hat{AHB}=90°`

$\\$

Xét $∆ABH$ và $∆CBA$ có:

`\qquad \hat{B}` chung

`\qquad \hat{AHB}=\hat{CAB}=90°`

`=>∆ABH∽∆CBA` (g-g) (đpcm)

$\\$

`b)` $AD$ là phân giác `\hat{ABC}` (gt)

`=>\hat{ABD}=\hat{HBD}`

`=>\hat{ABD}=\hat{HBI}`

$\\$

Xét $∆ABD$ và $∆HBI$ có:

`\qquad \hat{ABD}=\hat{HBI}` 

`\qquad \hat{BAD}=\hat{BHI}=90°`

`=>∆ABD∽∆HBI` (g-g)

`=>{AB}/{HB}={BD}/{BI}`

`=>AB.BI=HB.BD`

Vậy `AB.BI=BH.DB` (đpcm)

$\\$

`c)` `∆ABD∽∆HBI` (câu b)

`=>\hat{ADB}=\hat{HIB}` (hai góc tương ứng)

Mà `\hat{HIB}=\hat{AID}` (hai góc đối đỉnh)

`=>\hat{ADB}=\hat{AID}`

`=>\hat{ADI}=\hat{AID}`

`=>∆AID` cân tại $A$ (đpcm)

a)

Xét $\Delta ABH$ và $\Delta CBA$, ta có:

$\widehat{AHB}=\widehat{CAB}=90{}^\circ $

$\widehat{ABC}$ là góc chung

$\to \Delta ABH\sim\Delta CBA\,\,\,\left( \,g\,.\,g\, \right)$

b)

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta HBI$, ta có:

$\widehat{BAD}=\widehat{BHI}=90{}^\circ $

$\widehat{ABD}=\widehat{HBI}$ ( vì $BD$ là tia phân giác $\widehat{ABC}$ )

$\to \Delta ABD\sim\Delta HBI\,\,\,\left( \,g\,.\,g\, \right)$

$\to \dfrac{AB}{BH}=\dfrac{DB}{BI}$

$\to AB.BI=BH.DB$

c)

Vì $\Delta ABD\sim\Delta HBI\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$

$\to \widehat{ADI}=\widehat{HIB}$ ( hai góc tương ứng )

Mà $\widehat{HIB}=\widehat{AID}$ ( hai góc đối đỉnh )

Nên $\widehat{ADI}=\widehat{AID}$

Do đó $\Delta AID$ cân tại $A$