Giải thích các bước giải:

a.Ta có $\widehat{EHB}=\widehat{EKB}=90^o$

$\to BHEK$ nội tiếp đường tròn đường kính $BE$

b.Ta có $\Delta BEA$ vuông tại $E, EH\perp AB$

$\to BE^2=BH.BA$(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Tương tự $BE^2=BK.BC$

$\to BH.BA=BK.BC(=BE^2)$

c.Ta có $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^o$

$\to BCEF$ nội tiếp

Gọi $HK\cap CF=D$

ta có $EKBH$ nội tiếp

$\to\widehat{EKD}=\widehat{EKH}=\widehat{EBH}=\widehat{EBF}=\widehat{ECF}=\widehat{ECD}$

$\to EDKC$ nội tiếp

$\to \widehat{EDC}=\widehat{EKC}=90^o$

$\to ED\perp CF$

Mà $CF\perp AB, EH\perp AB\to EHFD$ là hình chữ nhật

Vì $I$ là trung điểm $EF\to I$ là trung điểm $DH$

$\to H, I,D$ thẳng hàng

$\to H, I, K$ thẳng hàng

a)

Xét tứ giác $BHEK$, ta có:

$\widehat{BHE}=90{}^\circ $

$\widehat{BKE}=90{}^\circ $

$\to \widehat{BHE}+\widehat{BKE}=180{}^\circ $

$\to BHEK$ là tứ giác nội tiếp

b)

Vì $BHEK$ là tứ giác nội tiếp

$\to \widehat{BHK}=\widehat{BEK}$ ( cùng chắn cung $\overset\frown{HK}$ )

Mà $\widehat{BEK}=\widehat{BCA}$ ( cùng phụ $\widehat{KEC}$ )

Nên $\widehat{BHK}=\widehat{BCA}$

Xét $\Delta BHK$ và $\Delta BCA$, ta có:

$\widehat{ABC}$ là góc chung

$\widehat{BHK}=\widehat{BCA}\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$

$\to \Delta BHK\sim\Delta BCA\,\,\,\left( \,g\,.\,g\, \right)$

$\to \dfrac{BH}{BC}=\dfrac{BK}{BA}$

$\to BH.BA=BK.BC$

c)

Gọi $D$ là giao điểm $HK$ và $CF$

Vì $BHEK$ là tứ giác nội tiếp

$\to \widehat{HKE}=\widehat{HBE}$ ( cùng chắn cung $\overset\frown{HE}$ )

Mà $\widehat{HBE}=\widehat{ACF}$ ( cùng phụ $\widehat{BAC}$ )

Nên $\widehat{HKE}=\widehat{ACF}$

$\to KDEC$ là tứ giác nội tiếp

$\to \widehat{EDC}=\widehat{EKC}=90{}^\circ $

$\to ED\bot CF$

Xét tứ giác $FHED$, ta có:

$\widehat{EDF}=90{}^\circ $

$\widehat{DFH}=90{}^\circ $

$\widehat{FHE}=90{}^\circ $

$\to FHED$ là hình chữ nhật

Có $I$ là trung điểm $EF$

Nên $I$ cũng là trung điểm $HD$

$\to $ ba điểm $H,I,D$ thẳng hàng

$\to $ ba điểm $H,I,K$ thẳng hàng