Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta HEB,\Delta HCD$ có:

$\widehat{HEB}=\widehat{HDC}(=90^o)$

$\widehat{EHB}=\widehat{DHC}$(đối đỉnh)

$\to\Delta HBE\sim\Delta HCD(g.g)$

$\to \dfrac{HE}{HD}=\dfrac{HB}{HC}$

$\to HE\cdot HC=HB\cdot HD$

b.Xét $\Delta HDE,\Delta HBC$ có:

$\widehat{DHE}=\widehat{BHC}$(đối đỉnh)

$\dfrac{HE}{HB}=\dfrac{HD}{HC}$ vì $HE\cdot HC=HB\cdot HD$

$\to \Delta HED\sim\Delta HBC(c.g.c)$

c.Từ câu b $\to \widehat{HDE}=\widehat{HCB}\to\widehat{HDI}=\widehat{HCB}$

Xét $\Delta BHK,\Delta BDC$ có:

Chung $\hat B$

$\widehat{BKH}=\widehat{BDC}(=90^o)$

$\to\Delta BHK\sim\Delta BCD(g.g)$

$\to \dfrac{BH}{BC}=\dfrac{BK}{DB}$

$\to \dfrac{BH}{BK}=\dfrac{BC}{BD}$

Do $\widehat{DBK}=\widehat{HBC}$

$\to \Delta BDK\sim\Delta BCH(c.g.c)$

$\to \widehat{BCH}=\widehat{BDK}$

$\to \widehat{HDK}=\widehat{HCB}=\widehat{IDH}$

$\to DH$ là phân giác $\widehat{IDK}$

Mà $DA\perp DH\to DA$ là phân giác ngoài đỉnh $D$ của $\Delta DHK$

$\to \dfrac{HI}{HK}=\dfrac{DI}{KD}=\dfrac{AI}{AK}$

$\to HI\cdot AK=AI\cdot HK$