Giải thích các bước giải:

Vì $mn-2\vdots 3$ nên đặt $mn=3k+2(k\in N)$

+, $mn$ chia $3$ dư $2$ nên cả $m$ và $n$ đều không chia hết cho $3$

+, Nếu $m,n$ cùng chia $3$ dư $1=>mn=(3c+1)(3d+1)=9cd+3c+3d+1$ chia $3$ dư $1=>$ Loại trường hợp này $(c,d\in N)$

+, Nếu $m,n$ cùng chia $3$ dư $2=>mn=(3e+2)(3f+2)=9ef+6e+6f+4$ chia $3$ dư $1=>$Loại trường hợp này

Do đó trong tích $mn,$ có $1$ số chia $3$ dư $2$, cái còn lại chia $3$ dư $1$

Trong biểu thức $x^m+x^n+1$, vài trò của $m,n$ là như nhau nên không mất tính tổng quát, giả sử $m=3a+1;n=3b+2(a,b\in N;a>b)$

$=>x^m+x^n+1=x^{3a+1}+x^{3b+2}+1$

$=x^{3a+1}-x+x^{3b+2}-x^2+(x^2+x+1)$

$=x^{3a}.x-x+x^{3b}.x^2-x^2+(x^2+x+1)$

$=x(x^{3a}-1)+x^2(x^{3b}-1)+(x^2+x+1)$

$=x((x^{a})^3-1)+x^2((x^{b})^3-1)+(x^2+x+1)$

$=x((x^{a})^3-1)+x^2((x^{b})^3-1)+(x^2+x+1)$

Thấy: $(x^a)^3-1;(x^{b})^3-1\vdots x^3-1$

$=>(x^a)^3-1;(x^{b})^3-1\vdots (x-1)(x^2+x+1)\vdots x^2+x+1$

$=>x((x^{a})^3-1)+x^2((x^{b})^3-1)+(x^2+x+1)\vdots x^2+x+1$

$=>>x^m+x^n+1\vdots x^2+x+1(đpcm)$

Áp dụng:

Có: $7.2-2=12\vdots 3$

$=>x^7+x^2+1\vdots x^2+x+1$

=> Làm đủ mọi cách để có $ x^2+x+1$

$=>x^7+x^2+1=(x^7-x)+(x^2+x+1)$

$=x(x^6-1)+(x^2+x+1)$

$=x[(x^3-1)(x^3+1)]+(x^2+x+1)$

$=x(x-1)(x^2+x+1)(x^3+1)+(x^2+x+1)$

$=(x^2+x+1)[x(x-1)(x^3+1)+1]$

$=(x^2+x+1)(x^5-x^4+x^2-x+1)$

Mình nghĩ đến đây thì không phân tích được nữa. Nếu có được thì báo vi phạm xóa bài nha