Đáp án:

a) $\Delta ABC$ vuông tại $A\Rightarrow AB\,\bot\,AC$.

Xét hai tam giác vuông $\Delta ABI$ và $\Delta BKI$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}BA=BK\,\rm(gt)\\BI\ \rm là\ cạnh\ chung\end{array}\right\}\Delta ABI=\Delta BKI\,\rm(ch-cgv)$

$\Rightarrow\widehat{ABI}=\widehat{KBI}$ (hai góc tương ứng).

$\Rightarrow BI$ là đường phân giác của $\Delta ABK$

$BA=BK\Rightarrow\Delta ABK$ cân tại $B$ có đường phân giác $BI$

$\Rightarrow BI$ đồng thời là đường trung trực của $\Delta ABK$ ứng với $AK$

$\Rightarrow BI$ là đường trung trực của $AK$.

b) $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^\circ$

$\Rightarrow \widehat{ABC}+30^\circ=90^\circ$

$\Rightarrow\widehat{ABC}=60^\circ$.

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ABI}+\widehat{KBI}$ và $\widehat{ABI}=\widehat{KBI}$

Nên $\widehat{ABI}=\widehat{KBI}=\dfrac{\widehat{ABC}}2=\dfrac{60^\circ}2=30^\circ$

$\Rightarrow\widehat{BIK}=\widehat{ABC}$

$\Rightarrow\widehat{IBC}=\widehat{ICB}$

$\Rightarrow\Delta IBC$ cân tại $I$ có đường cao $IK$.

$\Rightarrow IK$ đồng thời là đường phân giác của $\Delta IBC$.

c) $\Delta ABI=\Delta BKI\Rightarrow AI=KI$ (hai cạnh tương ứng).

Ta có $\widehat{AIQ}=\widehat{KIC}$ (đối đỉnh).

Xét hai tam giác vuông $\Delta AQI$ và $\Delta KIC$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}AI=KI\,\rm(cmt)\\\widehat{AIQ}=\widehat{KIC}\,\rm(cmt)\\\widehat{IAQ}=\widehat{IKC}=90^\circ\end{array}\right\}\Delta AQI=\Delta KIC\,\rm(g\!-\!c\!-\!g)$

$\Rightarrow AQ=KC$ (hai cạnh tương ứng).

Mà $AB=BK$ nên $AB+AQ=BK+KC$

$\Rightarrow BQ=BC\Rightarrow\Delta BQC$ cân tại $B$.

$\Rightarrow\widehat{BQC}=\widehat{BCQ}$ mà:

$\widehat{BQC}+\widehat{BCQ}=180^\circ-\widehat{ABC}$

$=180^\circ-60^\circ=120^\circ$

Nên $\widehat{BQC}=\widehat{BCQ}=\dfrac{120^\circ}2=60^\circ$

$\Rightarrow\widehat{QBC}=\widehat{BCQ}=\widehat{BQC}$

$\Rightarrow\Delta BQC$ đều.

d) $\Delta AQI=\Delta KIC\Rightarrow\widehat{AQI}=\widehat{ICK}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{BQC}=\widehat{BCQ}$ nên:

$\widehat{BQC}-\widehat{AQI}=\widehat{BCQ}-\widehat{ICK}$

$\Rightarrow\widehat{IQC}=\widehat{ICQ}$

$\Rightarrow\Delta IQC$ cân tại $I$ có đường phân giác $IE$.

$\Rightarrow IE$ đi qua trung điểm của $CQ$.

Mà $\Delta BQC$ cân tại $B$ có đường phân giác $BI$

$\Rightarrow BI$ đi qua trung điểm của $CQ$.

Mặt khác, $\Delta IQC$ nằm trong $\Delta BQC$

$\Rightarrow BI$ và $IE$ đi qua cùng một điểm.

$\Rightarrow BI$ nối $IE$ tại $I$ đi qua cùng một điểm

$\Rightarrow I\in BE\Rightarrow B$, $I$, $E$ thẳng hàng.

~Combo lun nha~

⇒Xin hay nhất!!!