a)

Đường tròn $\left( O \right)$ có:

$CD$ là tiếp tuyến, $AC$ là dây cung

$\to \widehat{ACD}=\widehat{CMA}$ ( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung )

$CD\,\,||\,\,MN\,\,\,\left( \,gt\, \right)$

$\to \widehat{ECD}=\widehat{CMA}$ ( hai góc so le trong )

$\to \widehat{ACD}=\widehat{ECD}$

Chứng minh tương tự, ta được:

$\,\,\,\,\,\,\widehat{ADC}=\widehat{EDC}$

Xét $\Delta ACD$ và $\Delta ECD$, ta có:

$\widehat{ACD}=\widehat{ECD}\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$

$CD$ là cạnh chung

$\widehat{ADC}=\widehat{EDC}\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$

$\to \Delta ACD=\Delta ECD\,\,\,\left( \,g\,.\,c\,.\,g\, \right)$

b)

Vì $\Delta ACD=\Delta ECD\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$

$\to\begin{cases}CA=CE\\DA=DE\end{cases}$     ( hai cạnh tương ứng )

$\to CD$ là đường trung trực của $AE$

$\to CD\bot AE$

Mà $CD\,\,||\,\,MN\,\,\,\left( \,gt\, \right)$

Vậy $AE\bot MN$

c)

$CD\,\,||\,\,MN\,\,\,\left( \,gt\, \right)$

$\to \,\,\,\,\widehat{ACD}=\widehat{CAM}$ ( hai góc so le trong )

Mà: $\widehat{ACD}=\widehat{CMA}\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$

Nên $\widehat{CAM}=\widehat{CMA}$

$\to \Delta CAM$ cân tại $C$

$\to CA=CM$

Mà $CA=CE\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$

$\to CM=CE$

$\to C$ là trung điểm $ME$

Chứng minh tương tự, ta được:

$\,\,\,\,\,\,D$ là trung điểm $NE$

$\to CD$ là đường trung bình của $\Delta EMN$

$\to CD=\dfrac{1}{2}MN$

$\to CD=2MN$

$\Delta BCD$ có $CD\,\,||\,\,PQ$

Nên theo hệ quả của định lý Ta – let, ta có:

$\dfrac{BD}{BQ}=\dfrac{BC}{BP}=\dfrac{CD}{PQ}$

$\,\,\,\,\,\,\begin{cases}\dfrac{BD}{BQ}=\dfrac{CD}{PQ}\\\\\dfrac{BC}{BP}=\dfrac{CD}{PQ}\end{cases}$

Cộng vế theo vế, ta được:

$\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{BD}{BQ}\,\,+\,\,\dfrac{BC}{BP}\,\,=\,\,\dfrac{CD}{PQ}\,\,+\,\,\dfrac{CD}{PQ}$

$\to \dfrac{BD}{BQ}\,\,+\,\,\dfrac{BC}{BP}\,\,=\,\,\dfrac{2CD}{PQ}$

$\to \dfrac{BD}{BQ}\,\,+\,\,\dfrac{BC}{BP}\,\,=\,\,\dfrac{MN}{PQ}$