a)

Xét $ΔABI và ΔACI$có:

$AI$chung

$AB=AC(ΔABC cân tại A)$

$∠ABI=∠ACI$

⇒ $ΔABI = ΔACI(ch.cgv)$

⇒$∠BAI=∠CAI$

⇒$AI$là phân giác

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

p/s:Trường hợp chuyền cạnh góc vuông mà bạn chưa học thì nói minh để mình chứng minh cho nhé

b)

Để cho đỡ lằng nhằng thì mình sẽ làm theo góc bẹt nhá!

Nếu đọc mà không hiểu thì nói mình làm cho thêm vài cách nữa:v

Lưu ý:Tránh trường hợp ngộ nhận $O;A;I$đã thẳng hàng

~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Vì 

$ΔABI = ΔACI(ch.cgv)$

⇒$BI=IC$

   $∠BIA=∠AIC$

Xét $ΔBIO và ΔCIO$có:

$BI=IC$

$OI$chung

$∠BIO=∠OIC$

⇒ $ΔBIO=ΔCIO(c,g,c)$

⇒$∠BOI=∠IOC$

Mà $∠BOI+∠IOC=180^o$

⇒$∠BOI=∠IOC=90^o$

⇒$∠BOI=90^o(1)$

~~

Xét$ΔBAO và ΔCAO$có:

$AB=AC$

$∠BAO=∠CAO$

$AO$chung

⇒$ΔBAO = ΔCAO(c.g.c)$

⇒$∠AOB=∠AOC$

mà $∠AOB+∠AOC=180^o$

⇒$∠AOB=∠AOC=90^o$

⇒$∠AOB=90^o(2)$

Từ $(1);(2)$

⇒$∠AOI=∠BOI+∠AOB=90^o+90^o=180^o$

⇒$A;O;I$thẳng hàng

`a)` $Bx\perp AB$ tại $B$ $(gt)$

`=>\hat{ABx}=90°`

Vì `I\in Bx=>\hat{ABI}=90°`

$\quad Cy\perp AC$ tại $C$ $(gt)$

`=>\hat{ACy}=90°`

Vì `I\in Cy=>\hat{ACI}=90°`

$\\$

Xét $∆ABI$ và $∆ACI$ có:

`\qquad \hat{ABI}=\hat{ACI}=90°`

`\qquad AI` là cạnh chung

`\qquad AB=AC` (do $∆ABC$ cân tại $A$)

`=>∆ABI=∆ACI` (ch-cgv)

`=>\hat{IAB}=\hat{IAC}` (hai góc tương ứng)

Mà tia $AI$ nằm giữa hai tia $AB$ và $AC$

`=>AI` là tia phân giác của `\hat{BAC}` (đpcm)

$\\$

`b)` Xét $∆ABO$ và $∆ACO$ có:

`\qquad AO` là cạnh chung

`\qquad AB=AC` ($∆ABC$ cân tại $A$)

`\qquad OB=OC` (vì $O$ là trung điểm $BC$)

`=>∆ABO=∆ACO` (c-c-c)

`=>\hat{OAB}=\hat{OAC}` (hai góc tương ứng)

Mà tia $AO$ nằm giữa hai tia $AB$ và $AC$

`=>AO` là tia phân giác của `\hat{BAC}`

$\\$

Ta lại có `AI` là tia phân giác của `\hat{BAC}` (câu a)

`=>A;O;I` cùng thuộc tia phân giác của `\hat{BAC}`

`=>A;O;I` thẳng hàng (đpcm)