`a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)`

 ta có :

`(x+y+z)(1/x +1/y +1/z) ≥9`

áp dụng vào :

`⇒(a+b+c+a+b+c)(1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b))≥9`

`⇒(a+b+c)(1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b))≥4,5`

`⇒a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)+3≥4,5`

`⇒a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)≥1,5`

mặt khác :

`(b/a+a/b)`

`=(a^2+b^2)/(ab)≥(2ab)/(ab)=2`

`⇒(b/a+a/b)≥2`

tương tự 

`⇒(b/c+c/b)≥2`

`⇒(c/a+a/c)≥2`

`B=a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)+(a+b)/c + (b+c)/a +(a+c)/b `

`⇒B=a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)+(c/a+a/c)+(b/c+c/b)+(b/a+a/b)≥1,5+2+2+2=7,5`

`''='' xẩy ra khi :

`a=b=c`

`B=a/(b+c)+ (b+c)/a +b/(a+c) +(a+c)/b +c/(a+b) +(a+b)/c`

`B=(a/(b+c) + b/(a+c)  + c/(a+b)) +( (b+c)/a + (a+c)/b +(a+b)/c)`

`B=a^2/(ab+ac) + b^2/(ab+bc)  + c^2/(ac+bc) + (b+c)^2/(ab+ac) + (a+c)^2/(ab+bc) +(a+b)^2/(ac+bc) `

Do `a,b,c >0`,áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki ta có:

`B=a^2/(ab+ac) + b^2/(ab+bc)  + c^2/(ac+bc) + (b+c)^2/(ab+ac) + (a+c)^2/(ab+bc) +(a+b)^2/(ac+bc) ≥[a+b+c+(b+c)+(a+c)+(a+b)]^2/[4(ab+ac+bc)]`

Lại có:`(a+b+c)^2≥3(ab+ac+bc)`

`=>B≥[9.3(ab+ac+bc)]/[4(ab+ac+bc)]`

`=>B≥27/4`