Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^o$

$\to BCEF$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$

$\to \widehat{FEB}=\widehat{FCB}=\widehat{NCB}=\widehat{NMB}$

$\to EF//MN$

b.Ta có: $\widehat{HEC}=\widehat{HDC}=90^o\to HECD$ nội tiếp

$\to \widehat{FEB}=\widehat{FCB}=\widehat{HCD}=\widehat{HED}$

$\to EH$ là phân giác $\widehat{FED}$

Tương tự chứng minh đượ c$FH$ là phân giác $\widehat{EFD}$

$\to H$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta DEF$

c.Ta có: $BCEF$ nội tiếp 

$\to \widehat{FCE}=\widehat{FBE}$

$\to \widehat{ACN}=\widehat{ABM}$

$\to AN=AM$

$\to A$ nằm chính giữa cung $MN\to OA\perp MN$

Vì $EF//MN\to OA\perp EF$

d.Vì $AK$ là đường kính của $(O)\to AB\perp KB, AC\perp KC$

$\to BK//CH, CK//BH$

$\to BHCK$ là hình bình hành

$\to HK\cap BC$ tại trung điểm mỗi đường

Vì $I$ là trung điểm $BC\to I$ là trung điểm $HK$

Gọi $AD\cap(O)=L, L\ne A$

Vì $AK$ là đường kính của $(O)\to AL\perp LK$

Mà $AL\perp BC\to LK//BC$

$\to \dfrac{QA}{QK}=\dfrac{DA}{DL}=TA/TH$

Ta có: $\widehat{LBC}=\widehat{DAC}=90^o-\widehat{ACD}=90^o-\widehat{ECB}=\widehat{EBC}=\widehat{HBD}$

$\to BD$ là phân giác và đường cao $\Delta BHL\to \Delta  BHL$ cân tại $B, BD\perp HL\to D$ là trung điểm $HL$

$\to DH=DL$

$\to \dfrac{QA}{QK}=\dfrac{DA}{DL}=\dfrac{DA}{DH}$

Ta có: $EH$ là phân giác $\widehat{TED}, EH\perp EA\to EA$ là phân giác ngoài đỉnh $E$ của $\Delta ETD$

$\to \dfrac{AD}{AH}=\dfrac{ED}{EH}=\dfrac{HD}{HT}$

$\to \dfrac{DA}{DH}=\dfrac{AH}{HT}$

$\to \dfrac{QA}{QK}=\dfrac{AH}{HT}$

$\to QT//HK$

$\to IH//TQ$