Giải thích các bước giải:

a) `ΔABC` vuông tại `A=> AB⊥AC`

Xét `ΔHAC` và `ΔABC` có:

`\hat{AHC}=\hat{BAC}=90^0 (AB⊥AC; AH⊥BC)`

`\hat{HCA}=\hat{ACB}`

`=>` $ΔHAC\backsimΔABC$ (g.g)

`=> \frac{AC}{BC}=\frac{HC}{AC} => AC^2=HC.BC`

b) `ΔABC` vuông tại `A `

`=>  AB^2=BC^-AC^2=20^2-16^2=144 => AB=12cm`

$ΔHAC\backsimΔABC$ `=> \frac{AH}{AB}=\frac{AC}{BC}`

`=> AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{12.16}{20}=9,6cm`

c) `ΔABD` vuông tại `A (AB⊥AC)` có:` \hat{ABD}+\hat{ADB}=90^0 `

`ΔBIH` vuông tại `H (AH⊥BC)` có: ` \hat{HBI}+\hat{BIH}=90^0 `

mà `\hat{ABD}=\hat{HBI} (BD` là phân giác của `\hat{ABC})`

`=> \hat{ADB}=\hat{BIH}` hay `\hat{ADI}=\hat{BIH}`

lại có `\hat{HBI}=\hat{AID}` (đối đỉnh)

`=> \hat{ADI}=\hat{AID} => ΔADI` cân tại `A`

d) Xét `ΔHBA` và `ΔABC` có:

`\hat{AHB}=\hat{BAC}=90^0 (AH⊥BC; AB⊥AC)`

`\hat{HBA}=\hat{ABC}`

`=>` $ΔHBA\backsimΔABC$ (g.g) `=> \frac{AB}{BC}=\frac{BH}{AB}` (1)

`ΔABC` có: `BD` là đường phân giác

`=> \frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DC}`  (2)

`ΔABH` có `BI` là đường phân giác `(I∈BD; BD` là phân giác của `\hat{ABC})`

`=> \frac{BH}{AB}=\frac{IH}{AI}`   (3)

Từ (1) (2) (3) `=> \frac{AD}{DC}=\frac{IH}{AI} => AI.AD=IH.DC`