Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^o$

$\to BFEC$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$

$\to$Tâm $I$ của đường tròn là trung điểm $BC$

b.Xét $\Delta KBF,\Delta KCE$ có:

Chung $\hat K$

$\widehat{KFB}=\widehat{KCE}$ vì $BCEF$ nội tiếp

$\to \Delta KBF\sim\Delta KEC(g.g)$

$\to\dfrac{KB}{KE}=\dfrac{KF}{KC}$

$\to KE\cdot KF=KB\cdot KC$

c.Xét $\Delta KBM,\Delta KAC$ có:

Chung $\hat K$

$\widehat{KBM}=\widehat{KAC}$ vì $AMBC$ nội tiếp $(O)$

$\to\Delta KBM\sim\Delta KAC(g.g)$

$\to \dfrac{KB}{KA}=\dfrac{KM}{KC}$

$\to KB\cdot KC=KA\cdot KM$

$\to KM\cdot KA=KE\cdot KF$

$\to \dfrac{KM}{KE}=\dfrac{KF}{KA}$

Vì $\widehat{MKF}=\widehat{AKE}$

$\to \Delta KMF\sim\Delta KEA(c.g.c)$

$\to \widehat{KFM}=\widehat{KAE}=\widehat{KAC}$

d.Gọi $AL$ là đường kính của $(O)\to AM\perp ML, AB\perp BL, AC\perp CL$

$\to BL//CH, CL//BH$

$\to BHCL$ là hình bình hành

$\to HL\cap BC$ tại trung điểm mỗi đường

Do $I$ là trung điểm $BC\to I$ là trung điểm $HL$

$\to H. I, L$ thẳng hàng

Ta có: $\widehat{KAC}=\widehat{KFM}\to \widehat{KFM}=\widehat{MAE}\to AMFE$ nội tiếp

Mà $\widehat{AFH}=\widehat{AEH}=90^o\to AEHF$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$

$\to A, M, F, H, E$ cùng thuộc một đường tròn

$\to \widehat{AMH}=\widehat{AFH}=90^o$

$\to HM\perp AM$

Mà $LM\perp AM$

$\to L, H, M$ thẳng hàng

Do $H, I, L$ thẳng hàng

$\to M, H, I$ thẳng hàng