Lời giải:

a) Gọi $AD,\, BE$ lần lượt là các đường cao của $ΔABC$

$\Rightarrow AD \cap BE= \{H\}$

Ta có:

$M,\, N$ lần lượt là trung điểm $BC$ và $AC\quad (gt)$

$\Rightarrow MN$ là đường trung bình của $ΔABC$

$\Rightarrow MN//AB$

$\Rightarrow \widehat{BAC} = \widehat{MNC}$ (đồng vị)

Ta lại có:

$\widehat{BAC} + \widehat{ABE} = 90^\circ$

$\widehat{MNC} + \widehat{MNO} = 90^\circ$ ($ON$ là trung trực của $AC$)

$\Rightarrow \widehat{ABE} = \widehat{MNO}$

hay $\widehat{ABH} = \widehat{MNO}$

Chứng minh tương tự, ta được: $\widehat{BAH} = \widehat{NMO}$

Xét $ΔABH$ và $ΔMNO$ có:

$\left.\begin{array}{l}\widehat{ABH} = \widehat{MNO}\\\widehat{BAH} = \widehat{NMO}\end{array}\quad (cmt)\right\}$

Do đó: $ΔABH\sim ΔMNO\, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{AB}{MN} = \dfrac{AH}{OM}$

$\Rightarrow OM.AB = AH.MN$

b) Ta có:

$\quad \dfrac{AB}{MN} = \dfrac{AH}{OM}$ (câu a)

mà $\dfrac{AB}{MN} = 2$ ($MN$ là đường trung bình)

nên $\dfrac{AH}{OM} = 2$

Ta lại có: $\dfrac{AG}{GM} = 2$ (tính chất trọng tâm)

$\Rightarrow \dfrac{AH}{OM} = \dfrac{AG}{GM}$

Mặt khác: $AD//OM\quad (\perp BC)$

$\Rightarrow \widehat{HAG} = \widehat{OMG}$ (so le trong)

Xét $ΔAGH$ và $ΔMGO$ có:

$\left.\begin{array}{l}\dfrac{AH}{OM} = \dfrac{AG}{GM}\\\widehat{HAG} = \widehat{OMG}\end{array}\quad (cmt)\right\}$

Do đó: $ΔAGH\sim ΔMGO\, (c.g.c)$

$\Rightarrow \dfrac{AH}{MO} = \dfrac{HG}{OG}$

$\Rightarrow AH.OG = MO.HG$