Đáp án:

1) Ta cm được ΔIHA = ΔIMA (c-g-c)

=> AH = AM và góc IAH = góc IAM

Tương tự ΔAHK = ΔANK (c-g-c)

=> AH = AN và góc HAK = góc NAK

=> AM = AN

Mà góc IAH + góc HAK = 90 độ

=> góc IAM + góc NAK = 90 độ

=> tổng 4 góc IAM, NAK, HAK, IAH bằng 180 độ

=> góc MAN = 180 độ

=> M,A,N thẳng hàng

=> A là trung điểm của MN

2)

Xét ΔIAH và ΔKHA có:

+ góc AIH = góc HKA = 90 độ

+ AH chung

+ góc IHA  = góc KAH (so le trong)

=> ΔIAH = ΔKHA (g-c-g)

=> IH = AK

=> MI = AK

Xét ΔIAK và ΔAIM có:

+ IA chung

+ góc I = góc A vuông

+ IM = AK

=> ΔIAK = ΔAIM (c-g-c)

=> góc KIA = góc MAI

=> IK//AM

hay IK//MN 

3)

$\begin{array}{l}
{S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{1}{2}AH.BC\\
 \Rightarrow AB.AC = AH.BC\\
 \Rightarrow A{B^2}.A{C^2} = A{H^2}.B{C^2}\\
 \Rightarrow \dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{{B{C^2}}}{{A{B^2}.A{C^2}}}\\
 \Rightarrow \dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{A{B^2}.A{C^2}}}\left( {pytago} \right)\\
 \Rightarrow \dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{C^2}}} + \dfrac{1}{{A{B^2}}}\\
Vay\,\dfrac{1}{{A{C^2}}} + \dfrac{1}{{A{B^2}}} = \dfrac{1}{{A{H^2}}}
\end{array}$

4)

$\begin{array}{l}
Theo\,Pytago:\\
B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25\\
 \Rightarrow BC = 5\left( {cm} \right)
\end{array}$

Theo t/c đường phân giác ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{DH}}{{AH}} = \dfrac{{BD}}{{AB}}\\
\dfrac{{HE}}{{AH}} = \dfrac{{EC}}{{AC}}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{DH}}{{2,4}} = \dfrac{{BD}}{3} = \dfrac{{DH + BD}}{{2,4 + 3}} = \dfrac{{BH}}{{5,4}} = \dfrac{1}{3}\\
\dfrac{{HE}}{{2,4}} = \dfrac{{EC}}{4} = \dfrac{{HE + EC}}{{6,4}} = \dfrac{{HC}}{{6,4}} = \dfrac{1}{2}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
DH = 0,8\\
HE = 1,2
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow DE = DH + DE = 2\left( {cm} \right)
\end{array}$