`color{purple}{#ProTopTop}`

Đáp án `a)` $\triangle$ $ABG$ $=$ $\triangle$ $ACG ( c - g - c )$

`b)` `\triangle` $AGM$ $=$ `\triangle` $CEM ( g - c - g )$

`c) G` là trung điểm của $BE$

Các bước giải

`a)` Xét $\triangle$ $ABG$ và $\triangle$ $ACG$ ta có $:$

$AG$ chung

$\widehat{BAG}$ $=$ $\widehat{CAG}$ $($ vì $AD$ là tia phân giác cua $\widehat{BAC}$ $)$

$AB = AC ($ vì $\triangle$ $ABC$ cân tại $A )$

`=>` $\triangle$ $ABG$ $=$ $\triangle$ $ACG ( c - g - c )$

`b)` Vì $\triangle$ $ABC$ cân tại $A ( gt )$

Mà $AD$ là tia phân giác cua $\widehat{BAC} ( gt )$

`=> AD` đồng thời là đường cao của $\triangle$ $ABC$ 

`=> AD` $\bot$ $BC$

Mà $CE$ $\bot$ $BC ( gt )$

`=> AD // CE (` từ vuông góc đến song song $)$

`=>` $\widehat{DAC}$ $=$ $\widehat{C1}$ $( 2$ góc so le trong $)$

Xét `\triangle` $AGM$ và `\triangle` $CEM$ ta có $:$

$\widehat{M1}$ $=$ $\widehat{M2}$ $( 2$ góc đối đỉnh $)$

$AM = MC ($ vì $BM$ là trung tuyến của $\triangle$ $ABC$ $)$

$\widehat{DAC}$ $=$ $\widehat{C1} ( cmt )$

`=>` `\triangle` $AGM$ $=$ `\triangle` $CEM ( g - c - g )$

`c)` Vì $\triangle$ $ABG$ $=$ $\triangle$ $ACG ( cmt )$

`=> GB = GC ( 2` cạnh tương ứng $)$

`=>` $\triangle$ $GBC$ cân tại $G ( dhnb )$

Ta có $:$ $\widehat{GCE}$ $+$ $\widehat{C1}$ $= 90^o (1)$

Xét  $\triangle$ $ECB$ vuông tại $C$ ta có $:$

$\widehat{BEC}$ $+$ $\widehat{B1}$ $= 90^o ( 2$ góc nhọn phụ nhau $)$

Mà $\widehat{B1}$ $=$ $\widehat{C1}$ $($ vì $\triangle$ $GBC$ cân tại $G )$

`=>` $\widehat{BEC}$ $+$ $\widehat{C1}$ $= 90^o (2)$

Từ $(1) ; (2)$

`=>` $\widehat{BEC}$ $=$ $\widehat{GCE}$

`=>` $\triangle$ $GCE$ cân tại $G ( dhnb )$

`=> GC = GE`

Mà $GB = GC$

`=> GB = GE ( = GC )`

`=> G` là trung điểm của $BE$ 

Giải thích các bước giải:

1.Xét $\Delta ABG,\Delta ACG$ có:

Chung $AG$

$\widehat{GAB}=\widehat{GAC}$ vì $AG$ là phân giác $\hat A$

$AB=AC$

$\to \Delta ABG=\Delta ACG(c.g.c)$

2.Từ câu 1 $\to AB=AC, GB=GC\to A, G\in$ trung trực $BC\to AG$ là trung trực $BC\to AG\perp BC=D$ là trung điểm $BC$
Mà $CE\perp BC\to AG//CE$

Xét $\Delta AGM,\Delta CME$ có:

$\widehat{AMG}=\widehat{CME}$(đối đỉnh)

$MA=MC$ vì $M$ là trung điểm $AC$

$\widehat{GAM}=\widehat{MCE}$ vì $AG//CE$

$\to \Delta AGM=\Delta CME(g.c.g)$

3.Từ câu 2 $\to MG=ME\to GE=MG+ME=2MG$

Ta có: $D, M$ là trung điểm $BC, CA$ và $AD\cap BM=G\to G$ là trọng tâm $\Delta ABC$

$\to GE=2GM=GB$

$\to G$ là trung điểm $BE$