Hình vẽ (Hình dưới):

a, Xét (O) có:

$\widehat{ABM}=\frac{1}{2}sđ\overparen{BM}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến AB và dây BM)

$\widehat{BNM}=\frac{1}{2}sđ\overparen{BM}$ (góc nội tiếp chắn cung $\overparen{BM}$)

⇒ $\widehat{ABM}=\widehat{BNM}$ ⇒ $\widehat{ABM}=\widehat{ANB}$

Xét ΔABM và ΔANB có

$\widehat{ABM}=\widehat{ANB}$ (cmt)

$\widehat{A_{1}}$: góc chung

⇒ ΔABM~ΔANB (g.g)

⇒ $\frac{AB}{AN}=\frac{AM}{AB}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒ AB²=AM.AN (*)

b, Xét (O) có:

AB, AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A

B, C là hai tiếp điểm

⇒ AB=AC, AO là phân giác $\widehat{BAC}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Xét (O) có: OB=OC=R⇒ O thuộc đường trung trực của BC

Có AB=AC (cmt)⇒ A thuộc đường trung trực của BC

⇒ OA là đường trung trực của BC

⇒ OA⊥BC tại H

Xét (O) có: AB là tiếp tuyến, B là tiếp điểm

⇒ AB⊥OB ⇒ $\widehat{ABO}=90°$

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong ΔABO vuông tại B ($\widehat{ABO}=90°$), BH⊥OA (OA⊥BC tại H) có: AB²=AH.AO (**)

Từ (*) và (**) ⇒ AH.AO=AM.AN

c, OA là trung trực của BC (cmt)

OA cắt (O) tại I (gt) ⇒ IB=IC ⇒ $\overparen{IB}=\overparen{IC}$

Xét (O) có:

$\widehat{ABI}=\frac{1}{2}sđ\overparen{IB}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến AB và dây BI)

$\widehat{IBC}=\frac{1}{2}sđ\overparen{IC}$ (góc nội tiếp chắn cung $\overparen{IC}$)

$\overparen{IB}=\overparen{IC}$ (cmt)

⇒ $\widehat{ABI}=\widehat{IBC}$ ⇒ BI là phân giác $\widehat{ABC}$ 

Có AO là phân giác $\widehat{BAC}$ (cmt) 

AO cắt (O) tại I (gt) ⇒ AI là phân giác $\widehat{BAC}$ 

Xét ΔABC có:

AI là phân giác $\widehat{BAC}$ (cmt)

BI là phân giác $\widehat{ABC}$ (cmt)

AI cắt BI tại I

⇒ I là giao điểm của ba đường phân giác của ΔABC

⇒ I là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC

Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta ABM,\Delta ABN$ có:

Chung $\hat A$
$\widehat{ABM}=\widehat{ANB}$ vì $AB$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to \Delta ABM\sim\Delta ANB(g.g)$

$\to \dfrac{AB}{AN}=\dfrac{AM}{AB}$

$\to AB^2=AM.AN$

b. Ta có $AB,AC$ là tiếp tuyến của $(O)\to AO\perp BC$

Mà $AB\perp BO$

$\to AB^2=AH.AO$(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

$\to AH.AO=AM.NA$

c.Ta có $AB,AC$ là tiếp tuyến của $(O)\to AO$ là trung trực của $BC$

$\to IB=IC, AI$ là phân giác $\widehat{BAC}$

Mà $AB$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to\widehat{ABI}=\widehat{ICB}=\widehat{IBC}$

$\to BI$ là phân giác $\widehat{ABC}$

$\to I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$