a)

Xét $\Delta OKB$ và $\Delta OQC$, ta có:

+   $OB=OC$

+   $\widehat{OBK}=\widehat{OCQ}=45{}^\circ $

+   $KB=QC$

$\to \Delta OKB=\Delta OQC\left( c.g.c \right)$

$\to \widehat{KOB}=\widehat{QOC}$  và  $OK=OQ$

Mà $\widehat{QOC}+\widehat{QOB}=90{}^\circ $  và  $OK=OQ$

$\to \widehat{KOB}+\widehat{QOB}=90{}^\circ $  và  $OK=OQ$

$\to \widehat{KOQ}=90{}^\circ $  và  $OK=OQ$

$\to \Delta KOQ$ vuông cân tại $O$

b)

Vì $KB=QC$ và $AB=BC$

Nên $KA=QB$

Xét $\Delta QAB$ có $AB//CE$

$\to \dfrac{QE}{QA}=\dfrac{QC}{QB}$ (Định lý Ta-let)

$\to \dfrac{QE}{QA}=\dfrac{KB}{KA}$

$\to KQ//BE$ (Định lý Ta-let đảo)

c)

Vì $KQ//BE$

$\to \widehat{BFO}=\widehat{KQO}=45{}^\circ $ (hai góc đồng vị)

Xét $\Delta BFO$ và $\Delta BDE$, ta có:

+   $\widehat{BFO}=\widehat{BDE}=45{}^\circ $

+   $\widehat{DBE}$ là góc chung

$\to \Delta BFO\backsim\Delta BDE\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{BF}{BD}=\dfrac{BO}{BE}\to BF.BE=BO.BD\,\,\,\left( 1 \right)$

Xét $\Delta BOC$ và $\Delta BCD$, ta có:

+   $\widehat{BOC}=\widehat{BCD}=90{}^\circ $

+   $\widehat{DBC}$ là góc chung

$\to \Delta BOC\backsim\Delta BCD\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{BO}{BC}=\dfrac{BC}{BD}\to B{{C}^{2}}=BO.BD\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$

$\to B{{C}^{2}}=BF.BE$

$\to \dfrac{BC}{BE}=\dfrac{BF}{BC}$

Xét $\Delta BCF$ và $\Delta BEC$, ta có:

+   $\widehat{EBC}$ là góc chung

+   $\dfrac{BC}{BE}=\dfrac{BF}{BC}\left( cmt \right)$

$\to \Delta BCF\backsim\Delta BEC\left( c.g.c \right)$

$\to \widehat{BFC}=\widehat{BCE}=90{}^\circ $

$\to CF\bot BE$

d)

Xét $\Delta OQC$ và $\Delta BQF$, ta có:

+   $\widehat{OQC}=\widehat{BQF}$ (hai góc đối đỉnh)

+   $\widehat{OCQ}=\widehat{BFQ}=45{}^\circ $

$\to \Delta OQC\backsim\Delta BQF\left( g.g \right)$