Hình vẽ (Hình dưới)

a, ΔABC vuông tại A (gt) ⇒ $\widehat{BAC}=90°$

Xét Δ BKC có: CK=BC (gt)

⇒ ΔBKC cân tại C

⇒ $\widehat{CBK}=\widehat{CKB}=\frac{180°-\widehat{C_{1}}{2}}(1)$ 

Có $\widehat{A_{1}}+\widehat{DAC}=90°$ ($\widehat{BAC}=90°$)

Xét ΔADH vuông tại H (AH⊥BC) có:

$\widehat{A_{2}}+\widehat{D_{1}}=90°$ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)

mà $\widehat{A_{1}}+\widehat{DAC}=90°$ (cmt)

$\widehat{A_{1}}=\widehat{A_{2}}$ (AD là phân giác $\widehat{BAH}$)

⇒ $\widehat{D_{1}}=\widehat{DAC}$

Xét ΔCAD có: $\widehat{D_{1}}=\widehat{DAC}$ (cmt)

⇒ ΔCAD cân tại C

⇒ $\widehat{D_{1}}=\widehat{DAC}=\frac{180°-\widehat{C_{1}}{2}}(2)$

Từ (1) và (2) ⇒ $\widehat{D_{1}}=\widehat{DAC}=\widehat{CBK}=\widehat{CKB}$

⇒ $\widehat{D_{1}}=\widehat{CBK}$

mà hai góc này ở vị trí đồng vị do BC cắt BK và AD ⇒ BK // AD

b, ΔCAD cân tại C (cmt) ⇒ CA=CD

Xét ΔCAB và ΔCDK có:

CA=CD (cmt)

$\widehat{C_{1}}$: góc chung

CB=CK (gt)

⇒ ΔCAB=ΔCDK (c.g.c)

⇒ $\widehat{CAB}=\widehat{CDK}$ (hai góc tương ứng)

mà $\widehat{BAC}=90°$ (cmt)

⇒ $\widehat{CDK}=90°$ ⇒ KD⊥BC

c, $\widehat{CAB}+\widehat{BAK}=180°$ (hai góc kề bù)

mà $\widehat{BAC}=90°$ ⇒ $\widehat{BAK}=180°-90°=90°$

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A (gt) có:

BC²=AB²+AC²

Hay BC²=6²+8²=36+64=100

⇒ BC=10 cm (BC>0)

mà CK=BC (gt)

⇒ CK=10 cm

CK=CA+AK ⇒ AK=CK-CA=10-8=2 cm

Áp dụng định lí Pytago vào ΔBAK vuông tại A ($\widehat{BAK}=90°$) có:

BK²=AK²+AB²

Hay BK²=2²+6²=4+36=40

⇒ $BK=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$ (cm) (BK>0)