a)

$\Delta AEK$ nội tiếp $\left( O \right)$ có $AK$ là đường kính

$\to AE\bot EK$

Ta có:

$\begin{cases}AE\bot BC\\AE\bot EK\end{cases}$

$\to BC\,\,||\,\,EK$

$\to BCKE$ là hình thang

Mà $BCKE$ lại nội tiếp được đường tròn

Nên $BCKE$ là hình thang cân

b)

Xét $\Delta BDH$ vuông tại $D$  và $\Delta BDE$ vuông tại $D$ , ta có:

$BD$ là cạnh chung

$DH=DE$ ( Vì $H$ đối xứng $E$ qua $D$ )

$\to \Delta BDH=\Delta BDE\,\,\,\left( \,cgv\,-\,cgv\, \right)$

$\to \widehat{HBD}=\widehat{EBD}$

Mà $\widehat{EBD}=\widehat{BCK}$ ( vì $BCKE$ là hình thang cân )

$\to \widehat{HBD}=\widehat{BCK}$

Mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong

$\to BH\,\,||\,\,CK$

$\Delta ACK$ nội tiếp $\left( O \right)$ có $AK$ là đường kính

$\to AC\bot CK$

Ta có:

$\begin{cases}BH\,\,||\,\,CK\\AC\bot CK\end{cases}$

$\to BH\bot AC$

$\Delta ABC$ có hai đường cao $BH$ và $AD$ cắt nhau tại $H$

$\to H$ là trực tâm $\Delta ABC$

$\to CH$ là đường cao thứ ba

$\to CH\bot AB$

c)

$\bullet \,\,\,\,\,$Chứng minh $AK$ vuông góc với $TS$

Vẽ tia tiếp tuyến $Ax$ như hình vẽ

$\to AK\bot Ax$

$BH$ cắt $AC$ tại $T$

$\to BT\bot AC$

$CH$ cắt $AB$ tại $S$

$\to CS\bot AB$

Xét tứ giác $BSTC$, ta có:

$\widehat{BSC}=\widehat{BTC}=90{}^\circ $

Mà hai góc này cùng nhìn cạnh $BC$

$\to BSTC$ là tứ giác nội tiếp

$\to \widehat{ATS}=\widehat{ABC}$  ( góc ngoài bằng góc đối trong )

Ta có:

$\,\,\,\,\,\,\,\widehat{xAC}=\widehat{ABC}$ ( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung )

Mà $\widehat{ATS}=\widehat{ABC}\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$

Nên $\widehat{xAC}=\widehat{ATS}$

Mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong

$\to Ax\,\,||\,\,TS$

Mà $AK\bot Ax\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$

Vậy $AK\bot TS$

…………………………………….

$\bullet \,\,\,\,\,$Chứng minh $TS=\dfrac{1}{2}MN$

$ANBC$ nội tiếp $\left( O \right)$

$\to \widehat{NAS}=\widehat{NCB}$ ( cùng chắn cung $NB$ )

Mà $\widehat{NCB}=\widehat{HAS}$ ( cùng phụ $\widehat{ABC}$ )

Nên $\widehat{NAS}=\widehat{HAS}$

Xét $\Delta NAS$ vuông tại $S$ và $\Delta HAS$ vuông tại $S$, ta có:

$AS$ là cạnh chung

$\widehat{NAS}=\widehat{HAS}\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$

$\to \Delta NAS=\Delta HAS\,\,\,\left( \,cgv\,-\,gn\, \right)$

$\to NS=HS$ ( hai cạnh tương ứng )

$\to S$ là trung điểm $NH$

Chứng minh tương tự, ta được:

$T$là trung điểm $MH$

Xét $\Delta HMN$, ta có:

$S$ là trung điểm $NH$( cmt )

$T$ là trung điểm $MH$ ( cmt )

$\to ST$ là đường trung bình của $\Delta HMN$

$\to ST=\dfrac{1}{2}MN$