a)

$\Delta BDE$ nội tiếp $\left( O \right)$ có $BD$ là đường kính

$\to \widehat{BED}=90{}^\circ $

Xét $\Delta BED$ và $\Delta BAC$, ta có:

$\widehat{ABC}$ là góc chung

$\widehat{BED}=\widehat{BAC}=90{}^\circ $

$\to \Delta BED\sim\Delta BAC\,\,\,\left( \,g\,.\,g\, \right)$

$\to \dfrac{BE}{BA}=\dfrac{BD}{BC}$

$\to BC.BE=BD.BA$

b)

$\Delta BFD$ nội tiếp $\left( O \right)$ có $BD$ là đường kính

$\to \widehat{BFD}=90{}^\circ $

$\to \widehat{BFC}=90{}^\circ $

Xét tứ giác $AFBC$, ta có:

$\widehat{BFC}=\widehat{BAC}=90{}^\circ $

Mà hai góc này cùng nhìn cạnh $BC$

Nên tứ giác $AFBC$ nội tiếp

c)

Vì $BC.BE=BD.BA\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$

$\to \dfrac{BA}{BC}=\dfrac{BE}{BD}$

Xét $\Delta BAE$ và $\Delta BCD$, ta có:

$\widehat{ABC}$ là góc chung

$\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{BE}{BD}\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$

$\to \Delta BAE\sim\Delta BCD\,\,\,\left( \,c\,.\,g\,.\,c\, \right)$

$\to \widehat{BAE}=\widehat{BCD}$ ( hai góc tương ứng )

Mà: $\begin{cases}\widehat{BAE}+\widehat{EAC}=90{}^\circ\\\widehat{BCD}+\widehat{FBC}=90{}^\circ\end{cases}$

Nên $\widehat{EAC}=\widehat{FBC}$

Mà $\widehat{FKA}=\widehat{FBC}$ ( vì $BFKE$ nội tiếp đường tròn $O$ )

$\to \widehat{EAC}=\widehat{FKA}$

Mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong

Vậy $FK\,\,||\,\,AC$