Đáp án + Giải thích các bước giải:

`a,` Ta có: `{(AB=AC),(AC=CI):}` $\\$ `=>` `AB=CI` $\\$ `=>` `\triangle``ABC` là `\triangle` cân $\\$ `=>` `\hat{ABC}` `=` `\hat{ACI}` $\\$ Lại có: `\hat{ACI}` và `\hat{ECI}` đối đỉnh $\\$ `=>` `\hat{ACI}` `=` `\hat{ECI}` `=>` `\hat{ABC}` `=` `\hat{ECI}` $\\$ Xét `\triangle``ABD` và `\triangle``ICE` , ta có: $\\$ `BD=CE` (gt) $\\$ `\hat{ABC}` `=` `\hat{ECI}` (cmt) $\\$ `AB=CI` (cmt) $\\$ `=>` `\triangle``ABD` `=` `\triangle``ICE` (c.g.c) $\\$ `=>` (đpcm)

`b,` Xét `\triangle``BDM` và `\triangle``CEN` , ta có: $\\$ `BD=CE` (gt) $\\$ `\hat{ABC}` `=` `\hat{ECI}` (theo câu a) $\\$ `\hat{MDB}` `=` `\hat{CEN}` `=` `90^o` $\\$ `=>` `\triangle``BDM` `=` `\triangle``CEN` (g.c.g) $\\$ `=>` `BM=CN` ( 2 cạnh tương ứng ) $\\$ `=>`(đpcm)

`c,` Xét `\triangle``AEF` có: $\\$ `AE+IE>AI` ( bất đẳng thức `\triangle` ) $\\$ Ta có: $\\$ `AI=2.AC` $\\$ Mà `AC=AB` $\\$ `=>` `AI=AC+AB` $\\$ Vì `\triangle``ABD` `=` `\triangle``ICE` $\\$ `=>` `IE=AD` ( 2 cạnh tương ứng ) $\\$ `=>` `AE+IE=AE+AD` $\\$ `=>` `AE+AD>AI` $\\$ hay `AE+AD>AC+AB` $\\$ `=>` (đpcm)

Đáp án:

a) Ta có $AB=AC$ mà $CI=CA$ nên $AB=CI$.

Vì ta có $\Delta ABC$ cân tại $A$

$\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (hai góc đáy bằng nhau).

Ta lại có $\widehat{ACB}=\widehat{ECI}$ (đối đỉnh).

$\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ECI}$.

Mặt khác, $D\in BC\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{ABC}$

$\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{ECI}$.

Xét hai tam giác $\Delta ABD$ và $\Delta ICE$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}AB=CI\,\rm(cmt)\\\widehat{ABD}=\widehat{ECI}\,\rm(cmt)\\BD=CE\,\rm(gt)\end{array}\!\right\}\Delta ABD=\Delta ICE\,\rm(c\!-\!g\!-\!c)$

b) Xét hai tam giác vuông $\Delta MBD$ và $\Delta NCE$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}\widehat{BDM}=\widehat{NEC}=90^\circ\\BD=CE\,\rm(gt)\\\widehat{ABD}=\widehat{ECI}\,\rm(cmt)\end{array}\!\right\}\Delta MBD=\Delta NCE\,\rm(g\!-\!c\!-\!g)$

$\Rightarrow BM=CN$ (hai cạnh tương ứng).

c) $\Delta AEI$ có $IA<AE+IE$.

Mà $IA=AC+CI$ với $AB=AC=CI$

$\Rightarrow AB+AC<AE+IE$.

Vì $\Delta ABD=\Delta ICE\Rightarrow AD=IE$ (hai cạnh tương ứng).

Mà $AB+AC<AE+IE$ nên $AB+AC<AE+AD$.

Vậy $AB+AC<AD+AE$.