Giải thích các bước giải:

1,

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\begin{array}{l}
{a^2}\left( {1 + {b^2}} \right) + {b^2}\left( {1 + {c^2}} \right) + {c^2}\left( {1 + {a^2}} \right)\\
 \ge {a^2}.2\sqrt {1.{b^2}}  + {b^2}.2.\sqrt {1 . {c^2}}  + {c^2}.2.\sqrt {1.{a^2}} \\
 = 2\left( {{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a} \right)\\
 \ge 2.3.\sqrt[3]{{{a^2}b.{b^2}c.{c^2}a}} = 6abc
\end{array}\)

Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\)

2,

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\frac{x}{{{y^2}}} + \frac{y}{{{x^2}}} - \frac{1}{x} - \frac{1}{y}\\
 = \left( {\frac{x}{{{y^2}}} - \frac{1}{y}} \right) + \left( {\frac{y}{{{x^2}}} - \frac{1}{x}} \right)\\
 = \frac{{x - y}}{{{y^2}}} + \frac{{y - x}}{{{x^2}}}\\
 = \left( {x - y} \right)\left( {\frac{1}{{{y^2}}} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\\
 = \left( {x - y} \right).\frac{{{x^2} - {y^2}}}{{{x^2}{y^2}}}\\
 = \frac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {x + y} \right)}}{{{x^2}{y^2}}} \ge 0\,\,\,\,\,,\forall x,y > 0\\
 \Rightarrow \frac{x}{{{y^2}}} + \frac{y}{{{x^2}}} \ge \frac{1}{x} + \frac{1}{y}
\end{array}\)

Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(x = y\)